Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

1. Уравнение $2^{2x^{2}}-(2^{3}+2^{8})\cdot 2^{x^{2}+2x}+2^{11+4x}=0$ содержит степени с разными показателями, но все они выражаются через $x^{2}-2x$, если разделить всё на $2^{4x}>0$ (деление на положительное число не меняет решений).

2. После деления получаем: $$2^{2x^{2}-4x}-(2^{3}+2^{8})\cdot 2^{x^{2}-2x}+2^{11}=0.$$ Здесь $2^{2x^{2}-4x}=(2^{x^{2}-2x})^{2}$, а $2^{11}=2^{3}\cdot2^{8}$ — это подсказывает замену.

3. Пусть $t=2^{x^{2}-2x}$ (при этом $t>0$). Уравнение становится квадратным относительно $t$: $$t^{2}-(2^{3}+2^{8})t+2^{3}\cdot2^{8}=0.$$ Это уравнение вида $t^2-(a+b)t+ab=0$, его корни — сами $a$ и $b$, то есть $t_1=2^{3}=8$, $t_2=2^{8}=256$. Оба положительны, значит подходят.

4. Возвращаемся к переменной $x$: $2^{x^{2}-2x}=2^{3}$ или $2^{x^{2}-2x}=2^{8}$. Так как показательная функция монотонна, приравниваем показатели: $$x^{2}-2x-3=0 \quad\text{или}\quad x^{2}-2x-8=0.$$

5. Решаем квадратные уравнения через дискриминант или разложение на множители: $x^{2}-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3,\ x=-1$; $x^{2}-2x-8=0 \Rightarrow (x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4,\ x=-2$.

Итого корни: $x\in\{-2;-1;3;4\}$.

6. Для пункта б) находим границы промежутка. Левая граница: $1+\log_{2}0{,}25=1+\log_{2}2^{-2}=1-2=-1$, но скобка круглая — значит $-1$ не входит. Правая граница: $\log_{2}16{,}1>\log_{2}16=4$, скобка квадратная — значит все числа не больше этой границы (чуть больше 4) входят.

7. Проверяем каждый корень: $-2<-1$ — не входит; $-1$ — граница не включена, не входит; $3$ и $4$ лежат в промежутке $(-1;\,4{,}0...]$, значит подходят.

Ответ: а) $\{-2;-1;3;4\}$; б) $\{3;4\}$.