Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

Заметим, что $4^{x}=(2^{x})^{2}$, а $2^{x+3}=2^{x}\cdot 2^{3}=8\cdot 2^{x}$. Введём замену $t=2^{x}$, где $t>0$ (показательная функция всегда положительна). Тогда уравнение примет вид: $$t^{2}-8t+15=0.$$

Это квадратное уравнение, решаем через дискриминант или подбор корней: $D=64-60=4$, $\sqrt{D}=2$, значит $t=\dfrac{8\pm2}{2}$, то есть $t=5$ или $t=3$. Оба значения положительны, значит подходят по смыслу замены.

Возвращаемся к исходной переменной: $$2^{x}=3 \quad\Rightarrow\quad x=\log_2 3,$$ $$2^{x}=5 \quad\Rightarrow\quad x=\log_2 5.$$ (здесь применяем определение логарифма: если $2^{x}=a$, то $x=\log_2 a$).

Это и есть все корни уравнения.

б) Теперь проверим, какие из корней лежат на отрезке $[2;\sqrt{10})$.

Сравним $\log_2 3$ с числом 2: так как $2=\log_2 4$, а $3<4$, то $\log_2 3<\log_2 4=2$. Значит, $\log_2 3<2$, и этот корень не входит в отрезок.

Сравним $\log_2 5$ с границами отрезка. Так как $4<5<8$, то $\log_2 4<\log_2 5<\log_2 8$, то есть $2<\log_2 5<3$. А поскольку $3<\sqrt{10}$ (ведь $3^2=9<10$), получаем $2<\log_2 5<3<\sqrt{10}$. Значит, $\log_2 5$ принадлежит отрезку $[2;\sqrt{10})$.

Таким образом, из двух корней отрезку принадлежит только $\log_2 5$.