Задание 13: тригонометрические уравнения с иррациональностью (ЕГЭ профиль)

О чём эта подтема

Задание 13 профильного ЕГЭ часто объединяет тригонометрию и иррациональные выражения в одном уравнении: под корнем стоит тригонометрическая функция, а уравнение в целом раскладывается на множители. Такие задачи проверяют сразу несколько навыков: работу с областью допустимых значений (ОДЗ), решение простейших тригонометрических уравнений, применение тригонометрических тождеств и — во второй части задания — умение отбирать корни, принадлежащие заданному отрезку.

Особенность этой подтемы в том, что наличие корня квадратного (или любого чётного) резко сужает множество возможных решений: выражение под корнем обязано быть неотрицательным. Забыть про это условие — самая частая причина потери баллов, даже если вся тригонометрическая часть решена правильно.

Что нужно знать

1. Условие существования корня. Если в уравнении есть $\sqrt{f(x)}$, то по определению арифметического корня требуется $f(x) \ge 0$. Это ОДЗ уравнения, и её нужно находить в первую очередь, а не в конце решения.

2. Разложение произведения на множители. Уравнение вида $$A(x)\cdot \sqrt{B(x)} = 0$$ равносильно системе $$\begin{cases} A(x)=0 \text{ или } B(x)=0, \\ B(x)\ge 0. \end{cases}$$ Важно: если $B(x)=0$, то само слагаемое $\sqrt{B(x)}$ обнуляет произведение независимо от значения $A(x)$ — это отдельная серия корней, которую нельзя забывать.

3. Простейшие тригонометрические уравнения: $$\sin x = a \;\Rightarrow\; x=(-1)^n\arcsin a + \pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ $$\cos x = a \;\Rightarrow\; x=\pm\arccos a + 2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ $$\tan x = a \;\Rightarrow\; x=\arctan a + \pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$ Для табличных значений ($\pm 1/2, \pm\sqrt2/2, \pm\sqrt3/2, \pm1$ и т.д.) корни нужно помнить наизусть, не тратя время на формулы с арксинусом.

4. Знаки тригонометрических функций по четвертям — необходимы, чтобы быстро проверять, удовлетворяет ли конкретная серия корней условию ОДЗ (например, $\cos x \ge 0$).

5. Формулы понижения и основное тригонометрическое тождество могут понадобиться, если уравнение под корнем или в множителе $A(x)$ дано не в самом простом виде (например, через $\tan^2 x$, $\cos 2x$ и т.п.).

6. Техника отбора корней на отрезке. Для серии вида $x = x_0 + T\cdot k$ нужно решить двойное неравенство $$a \le x_0 + Tk \le b$$ относительно целого $k$, найти границы для $k$ и подставить все подходящие целые значения.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Найти ОДЗ. Выписать все условия неотрицательности подкоренных выражений и, если есть тангенс или котангенс, условия существования этих функций (косинус или синус не равен нулю).

Шаг 2. Упростить уравнение, если это нужно: применить тождества, привести к виду произведения множителей, один из которых стоит под корнем.

Шаг 3. Разложить на случаи. Уравнение $A(x)\sqrt{B(x)}=0$ распадается на:

• $B(x)=0$ (эта серия автоматически удовлетворяет $B(x)\ge0$, но проверить нужно только исходное ОДЗ уравнения в целом, если есть другие ограничения);
• $A(x)=0$ при условии $B(x)\ge 0$ (или другим условиям ОДЗ).

Шаг 4. Решить каждое простейшее уравнение, получить общие серии корней с параметром $k\in\mathbb{Z}$.

Шаг 5. Проверить каждую серию на соответствие ОДЗ. Часто ОДЗ выполняется не для всех значений $k$, а только для чётных или только для нечётных — тогда серию нужно разбить на две части с разным шагом (обычно $2\pi k$ вместо $\pi k$), либо явно исключить непроходящую часть.

Шаг 6. Записать ответ пункта а) — объединение всех подходящих серий.

Шаг 7. Для пункта б) подставить в каждую серию условие принадлежности отрезку, решить неравенство на параметр $k$, перебрать целые значения и выписать конкретные числа.

Разбор примера

Пример 1. Решите уравнение $(2\sin x + \sqrt3)\cdot\sqrt{\cos x}=0$. Найдите корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

ОДЗ: $\cos x \ge 0$.

Разложение на случаи. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $\sqrt{\cos x}=0 \;\Rightarrow\; \cos x = 0$ — это условие само по себе удовлетворяет ОДЗ ($0\ge0$), поэтому вся серия входит в ответ: $$x = \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

2. $2\sin x + \sqrt3 = 0 \;\Rightarrow\; \sin x = -\dfrac{\sqrt3}{2}$. Общее решение: $$x = -\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad x = \pi+\frac{\pi}{3}+2\pi k = \frac{4\pi}{3}+2\pi k.$$ Теперь проверяем каждую подсерию на ОДЗ $\cos x\ge0$:

• при $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$: $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12>0$ — подходит;
• при $x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k$: $\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac12<0$ — не подходит, эту серию отбрасываем.

Ответ а): $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Отбор корней на $\left[\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Для серии $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$: $$\frac{3\pi}{2}\le\frac{\pi}{2}+\pi k\le\frac{7\pi}{2} \;\Rightarrow\; 1\le k\le 3.$$ Получаем $k=1,2,3$: $x=\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{2}$.

Для серии $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$: $$\frac{3\pi}{2}\le-\frac{\pi}{3}+2\pi k\le\frac{7\pi}{2}\;\Rightarrow\; \frac{11}{12}\le k\le\frac{23}{12}.$$ Единственное целое $k=1$: $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}$.

Ответ б): $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{5\pi}{3};\ \dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{2}$.

Пример 2. Решите уравнение $(\tan^2 x - 1)\sqrt{13\cos x}=0$. Найдите корни на отрезке $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

ОДЗ. Здесь два условия: для корня нужно $\cos x\ge0$, а для тангенса нужно $\cos x\ne0$. Вместе это даёт строгое условие $\cos x>0$.

Разложение на случаи.

1. $\sqrt{13\cos x}=0\;\Rightarrow\;\cos x=0$ — но это противоречит ОДЗ ($\cos x>0$), поэтому данный случай не даёт решений.

2. $\tan^2 x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; \tan x = \pm1$.

При $\tan x = 1$: $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k$. При $\tan x = -1$: $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k$.

Проверяем каждую серию на условие $\cos x>0$:

• $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k$: при чётном $k=2n$ получаем $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, $\cos\dfrac{\pi}{4}>0$ — подходит; при нечётном $k=2n+1$ получаем $x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n$, $\cos\dfrac{5\pi}{4}<0$ — не подходит.
• $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k$: аналогично, подходит только чётное $k$, даёт $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$.

Ответ а): $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Отбор корней на $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

Для $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: $$-3\pi\le\frac{\pi}{4}+2\pi k\le-\frac{3\pi}{2}\;\Rightarrow\; -\frac{13}{8}\le k\le-\frac{7}{8}.$$ Целое $k=-1$: $x=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{4}$.

Для $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: $$-3\pi\le-\frac{\pi}{4}+2\pi k\le-\frac{3\pi}{2}\;\Rightarrow\; -\frac{11}{8}\le k\le-\frac{5}{8}.$$ Целое $k=-1$: $x=-\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{9\pi}{4}$.

Ответ б): $-\dfrac{9\pi}{4};\ -\dfrac{7\pi}{4}$.

Типичные ошибки

Забытая ОДЗ. Самая частая потеря баллов — решение простейшего уравнения без проверки, удовлетворяет ли найденная серия условию неотрицательности подкоренного выражения. В примере 1 без такой проверки в ответ попала бы лишняя серия $x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k$.

Потеря случая $B(x)=0$. Иногда школьники решают только $A(x)=0$, забывая, что $\sqrt{B(x)}=0$ тоже обнуляет произведение и даёт отдельную серию корней.

Неполная проверка ОДЗ по подсериям. Если общее решение простейшего уравнения распадается на две подсерии (например, из $\sin x=a$ получаются две формулы), каждую нужно проверять на ОДЗ отдельно — иногда одна подходит полностью, другая целиком отбрасывается, а бывает, что подходит только чётная или нечётная часть параметра $k$.

Ошибки в отборе корней на отрезке. При решении двойного неравенства на $k$ легко ошибиться в делении или в направлении неравенства при отрицательном коэффициенте. Стоит после нахождения границ подставить каждое целое значение обратно и убедиться, что результат действительно лежит в заданном отрезке.

Путаница при отрицательном отрезке. Когда границы отрезка отрицательны (как во втором примере), легко перепутать знаки при делении неравенства — рекомендуется всегда проверять итоговый ответ прямой подстановкой числового значения.

На что обратить внимание на экзамене

При проверке работы эксперты особенно внимательно смотрят на то, зафиксирована ли ОДЗ и учтена ли она при отборе серий — без этого пункт а) не засчитывается как верно решённый, даже если тригонометрическая часть выполнена правильно. Поэтому ОДЗ стоит выписывать отдельной строкой в самом начале решения, а не держать в уме.

При выполнении пункта б) полезно перечислять на числовой окружности или на числовой прямой несколько первых членов каждой серии, чтобы визуально видеть, какие из них попадают в отрезок — это снижает риск арифметической ошибки при решении неравенства на $k$.

Если в уравнении несколько корней и тригонометрических функций одновременно, стоит выделить время на аккуратную запись каждого условия ОДЗ по отдельности, а затем объединить их через систему неравенств — это исключит случайное упущение одного из ограничений.

Наконец, перед сдачей работы полезно подставить хотя бы один найденный корень из каждой серии в исходное уравнение целиком — это быстрый способ убедиться, что все преобразования были равносильными и ни один посторонний корень не попал в ответ.