Задание 13 ЕГЭ: тригонометрия и показательные выражения — как решать

О чём эта подтема

В задании 13 профильного ЕГЭ часто встречаются уравнения, где показатели степени — тригонометрические функции: $\sin x$, $\cos x$ и их комбинации. Такие уравнения выглядят пугающе, но решаются по одной и той же схеме: сначала уравнение сводят к равенству степеней с одинаковыми основаниями, превращая показательную часть в обычное тригонометрическое уравнение, а затем это уравнение решают стандартными методами и отбирают корни на заданном отрезке.

Задание состоит из двух пунктов: в пункте а) нужно найти все решения уравнения (общую формулу с параметром $k$), а в пункте б) — отобрать те корни, которые попадают в указанный отрезок. Второй пункт оценивается только при верно решённом первом, поэтому точность на первом этапе критична.

Что нужно знать

Для этой подтемы нужен небольшой, но твёрдо усвоенный набор фактов.

Свойства степеней: $$a^{x+y}=a^x\cdot a^y,\qquad a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^x=a^x\cdot b^x.$$

Основное свойство показательной функции (при $a>0,\ a\neq 1$): $$a^{f(x)}=a^{g(x)}\ \Longleftrightarrow\ f(x)=g(x).$$ Это ключевой переход: если основания степеней совпадают, уравнение равносильно равенству показателей — никаких дополнительных ограничений на область определения не появляется, потому что показательная функция определена при любом действительном показателе.

Умение видеть одинаковое основание. Часто степени задаются разными числами, но эти числа связаны: $15=3\cdot5$, $49=7^2$, $9=3^2$, $25=5^2$ и т.п. Нужно раскладывать составные основания на множители, приводя всё к одному простому основанию (обычно это простое число: 2, 3, 5, 7).

Тригонометрические формулы:

• основное тождество $\sin^2x+\cos^2x=1$;
• формула синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$;
• значения синуса и косинуса для табличных углов ($\pi/4$, $\pi/3$, $\pi/6$ и т.д.);
• умение переходить от $\sin x=\cos x$ к $\tan x=1$ (с проверкой, что $\cos x\neq0$);
• решение простейших уравнений $\sin x=a$ и $\cos x=a$ с общими формулами корней.

Отбор корней на отрезке. Для каждой серии корней вида $x=x_0+T k$ (где $T$ — период) нужно решить двойное неравенство относительно $k$: $$\alpha\le x_0+Tk\le\beta,$$ найти границы для $k$, отобрать целые значения и подставить обратно.

Как решать: метод и алгоритм

1. Привести все основания степеней к одному общему основанию (обычно простому числу), разложив составные числа на множители: $15=3\cdot5$, $49=7^2$ и т.д.

2. Упростить обе части уравнения, используя свойства степеней так, чтобы получить вид $a^{P(x)}=a^{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — выражения от $\sin x$ и $\cos x$. Если в исходном уравнении присутствуют разные основания одновременно с двух сторон (например, и 3, и 5), может потребоваться промежуточный шаг — сократить общий множитель, оставшийся с одинаковым показателем с обеих сторон.

3. Перейти к равенству показателей: $P(x)=Q(x)$. С этого момента задача становится чисто тригонометрической.

4. Решить полученное тригонометрическое уравнение. Обычно это либо простейшее уравнение ($\sin x=\text{const}$), либо уравнение, решаемое разложением на множители (вынесением общего множителя типа $\cos x$), либо уравнение через тангенс (если получилось $\sin x=\cos x$).

5. Проверить корректность промежуточных преобразований. Если на каком-то шаге делили обе части на выражение, которое может обращаться в нуль (например, $\cos x$ или $3^{\cos x}$), нужно отдельно проверить случай равенства нулю — не потеряны ли корни, и не появились ли посторонние решения. Показательное выражение $a^{f(x)}$ с $a>0$ никогда не равно нулю, поэтому деление на него безопасно; а вот вынесение общего тригонометрического множителя за скобку требует рассмотрения обоих случаев (множитель равен нулю или второй множитель равен нулю).

6. Записать общий ответ в виде объединения серий корней с параметром $k\in\mathbb{Z}$.

7. Для пункта б) — отбор корней на отрезке. Для каждой серии корней составить и решить двойное неравенство на $k$, найти целые значения, подставить их в формулу корня и получить конкретные числа. Все найденные значения из всех серий объединить и упорядочить по возрастанию.

Разбор примера

Пример 1.

а) Решите уравнение $15^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{\sin x}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\ \dfrac{13\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. Разложение основания. Заметим, что $15=3\cdot5$, значит $$15^{\cos x}=(3\cdot5)^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{\cos x}.$$

Шаг 2. Подстановка в уравнение. $$3^{\cos x}\cdot 5^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{\sin x}.$$

Шаг 3. Сокращение общего множителя. Так как $3^{\cos x}>0$ при любом $x$, можно разделить обе части на $3^{\cos x}$ без потери или добавления корней: $$5^{\cos x}=5^{\sin x}.$$

Шаг 4. Переход к равенству показателей. Основания степеней одинаковы (число 5), значит $$\cos x=\sin x.$$

Шаг 5. Решение тригонометрического уравнения. Если предположить $\cos x=0$, то из равенства следует $\sin x=0$, но одновременно $\sin^2x+\cos^2x=1$ не может выполняться при обоих нулях — значит, $\cos x\neq0$ автоматически, и можно разделить обе части на $\cos x$: $$\tan x=1\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Это ответ пункта а): $\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\right\}$.

Шаг 6. Отбор корней на отрезке (пункт б)). Нужно найти $k$, для которых $$5\pi\le \frac{\pi}{4}+\pi k\le \frac{13\pi}{2}.$$

Разделим все части неравенства на $\pi$: $$5\le \frac14+k\le 6{,}5\ \Longrightarrow\ 4{,}75\le k\le 6{,}25.$$

Целые значения в этом промежутке: $k=5$ и $k=6$.

Подставляем:

• $k=5:\ x=\dfrac{\pi}{4}+5\pi=\dfrac{21\pi}{4}$;
• $k=6:\ x=\dfrac{\pi}{4}+6\pi=\dfrac{25\pi}{4}$.

Ответ пункта б): $\dfrac{21\pi}{4};\ \dfrac{25\pi}{4}$.

Пример 2.

а) Решите уравнение $\left(49^{\cos x}\right)^{\sin x}=7^{\sqrt{2}\cos x}$.

б) Найдите все корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]$.

Шаг 1. Приведение к одному основанию. Так как $49=7^2$, левая часть преобразуется так: $$\left(49^{\cos x}\right)^{\sin x}=\left(7^{2\cos x}\right)^{\sin x}=7^{2\cos x\sin x}.$$

Уравнение принимает вид: $$7^{2\cos x\sin x}=7^{\sqrt2\cos x}.$$

Шаг 2. Равенство показателей. $$2\sin x\cos x=\sqrt2\cos x.$$

Шаг 3. Разложение на множители. Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель $\cos x$: $$\cos x\,(2\sin x-\sqrt2)=0.$$

Отсюда два случая.

Случай А: $\cos x=0$. $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Случай Б: $2\sin x-\sqrt2=0\ \Rightarrow\ \sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$. $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Объединяя, получаем ответ пункта а): $$\left\{\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \ \frac{\pi}{4}+2\pi k;\ \ \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\right\}.$$

Шаг 4. Отбор корней на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$ (пункт б)).

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$: $$\frac{5\pi}{2}\le\frac{\pi}{2}+\pi k\le4\pi\ \Rightarrow\ 2\le k\le3{,}5.$$ Целые $k=2,3$: $x=\dfrac{5\pi}{2}$ и $x=\dfrac{7\pi}{2}$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: $$\frac{5\pi}{2}\le\frac{\pi}{4}+2\pi k\le4\pi\ \Rightarrow\ 1{,}125\le k\le1{,}875.$$ Целых значений нет.

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$: $$\frac{5\pi}{2}\le\frac{3\pi}{4}+2\pi k\le4\pi\ \Rightarrow\ 0{,}875\le k\le1{,}625.$$ Целое $k=1$: $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi=\dfrac{11\pi}{4}$.

Объединяя и упорядочивая по возрастанию, получаем ответ пункта б): $\dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{4};\ \dfrac{7\pi}{2}$.

Типичные ошибки

Неверное разложение составного основания. Ошибка вроде $15^{\cos x}=3^{\cos x}+5^{\cos x}$ вместо произведения — частая причина провала всего решения. Степень произведения равна произведению степеней, а не сумме.

Потеря корней при делении на тригонометрический множитель. Если в уравнении получается $\cos x\cdot(\ldots)=0$, нельзя просто делить обе части на $\cos x$ — нужно рассмотреть оба случая: $\cos x=0$ и второй множитель равен нулю. Иначе теряется целая серия решений.

Неверный переход от $\sin x=\cos x$ к $\tan x=1$ без проверки. Формально деление на $\cos x$ допустимо только если $\cos x\neq0$; в примере 1 это обосновано через основное тригонометрическое тождество, но в общем случае стоит проверять отдельно.

Арифметические ошибки при отборе корней. Часто путают знаки неравенства при делении на $\pi$ или неверно округляют границы для $k$. Стоит всегда подставлять найденные целые $k$ обратно в формулу и убеждаться, что результат действительно попадает в указанный отрезок.

Забывают объединить все серии корней при отборе на отрезке пункта б), если уравнение а) имело несколько серий решений — как в примере 2, где корни приходят из трёх разных формул.

Путают период серии корней. Для $\sin x=\cos x$ период равен $\pi$, а для $\sin x=a$ (при $a\neq\pm1$) — период $2\pi$ с двумя разными сериями. Смешивание периодов приводит к неверному отбору корней.

На что обратить внимание на экзамене

При встрече с уравнением, где степень содержит $\sin x$ или $\cos x$, первым делом ищите связь между основаниями: разложите числа на простые множители и проверьте, можно ли привести всё к одному основанию. Это самый частый и надёжный путь к решению.

После перехода к тригонометрическому уравнению не спешите — определите тип уравнения (простейшее, через разложение на множители, через тангенс) и решайте его так же аккуратно, как отдельную задачу. Обязательно проверяйте деление на выражения, которые могут быть равны нулю.

При отборе корней на отрезке пункта б) записывайте неравенство для параметра $k$ отдельно для каждой серии и решайте его строго — не подбирайте значения на глаз. Особенно внимательно проверяйте границы: если граница отрезка совпадает с одним из корней (как $5\pi/2$ в примере 2), важно правильно поставить знак нестрогого неравенства $\le$, чтобы не потерять и не добавить лишний корень.

В конце решения полезно подставить полученные значения обратно в исходное уравнение (хотя бы приблизительно, через значения синуса и косинуса) — это помогает выявить арифметические ошибки до сдачи работы.