ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и показательные выражения

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и показательные выражения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаУравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

а)  Решите уравнение дробь: числитель: левая круглая скобка 81 в степени левая круглая скобка | косинус x| правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус 9 в степени левая круглая скобка корень из 3 синус x правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: тангенс x конец аргумента конец дроби = 0.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 45 задач
Разбор
Главная идея: Свести показательное уравнение к одинаковым основаниям (3a=3b3^{a} = 3^{b}), упростить через модуль косинуса, отобрать решения по ограничению на область определения (tan⁡x>0\tan x > 0), а затем найти конкретные значения из отрезка.

Часть а) Решение уравнения

Сначала определим область определения. Дробь существует, когда tan⁡x>0\tan x > 0, то есть при sin⁡x\sin x и cos⁡x\cos x одного знака.

Для дроби, равной нулю, числитель должен быть нулём: (81∣cos⁡x∣)sin⁡x−93sin⁡x=0\left(81^{|\cos x|}\right)^{\sin x} - 9^{\sqrt{3}\sin x} = 0

Преобразуем основания к степеням тройки: 81=3481 = 3^4 и 9=329 = 3^2: 34∣cos⁡x∣sin⁡x=323sin⁡x3^{4|\cos x| \sin x} = 3^{2\sqrt{3}\sin x}

Приравниваем показатели: 4∣cos⁡x∣sin⁡x=23sin⁡x4|\cos x| \sin x = 2\sqrt{3}\sin x

Если sin⁡x≠0\sin x \neq 0, делим обе части на sin⁡x\sin x: 4∣cos⁡x∣=234|\cos x| = 2\sqrt{3} ∣cos⁡x∣=32|\cos x| = \frac{\sqrt{3}}{2}

Это даёт cos⁡x=±32\cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, откуда: x=±π6+πk,k∈Zx = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}

Проверим условие tan⁡x>0\tan x > 0:

  • При x=π6+πkx = \frac{\pi}{6} + \pi k: угол находится в I или III квадранте, где tan⁡x>0\tan x > 0 ✓
  • При x=−π6+πkx = -\frac{\pi}{6} + \pi k: угол находится во II или IV квадранте, где tan⁡x<0\tan x < 0 ✗

Ответ: x=π6+πkx = \frac{\pi}{6} + \pi k, k∈Zk \in \mathbb{Z}

Часть б) Отбор корней на отрезке [−2π;−π2]\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]

Подставляем в двойное неравенство: −2π≤π6+πk≤−π2-2\pi \leq \frac{\pi}{6} + \pi k \leq -\frac{\pi}{2}

Вычитаем π6\frac{\pi}{6}: −2π−π6≤πk≤−π2−π6-2\pi - \frac{\pi}{6} \leq \pi k \leq -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} −13π6≤πk≤−2π3-\frac{13\pi}{6} \leq \pi k \leq -\frac{2\pi}{3}

Делим на π\pi: −136≤k≤−23-\frac{13}{6} \leq k \leq -\frac{2}{3} −2,16‾≤k≤−0,66‾-2,1\overline{6} \leq k \leq -0,6\overline{6}

Целые значения: k=−2k = -2 и k=−1k = -1

При k=−2k = -2: x=π6−2π=−11π6x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}

При k=−1k = -1: x=π6−π=−5π6x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}

Типичные ошибки

  • Забыть проверить условие области определения (tan⁡x>0\tan x > 0) и включить оба семейства решений ±π6+πk\pm\frac{\pi}{6} + \pi k
  • Ошибиться при вычислении границ для kk, например получить нецелые значения вместо k=−2k = -2 и k=−1k = -1
  • Неправильно преобразовать 81∣cos⁡x∣sin⁡x81^{|\cos x|\sin x} в степень тройки (забыть, что 81=3481 = 3^4, а не 323^2)
Непонятно?

Похожие задачи