Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

1. Приводим аргумент логарифма к простому виду. По формуле приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$. Значит уравнение $$\log_3\left(\sqrt2\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin2x+81\right)=4$$ превращается в $$\log_3\left(\sqrt2\sin x+\sin2x+81\right)=4.$$

2. Раскрываем логарифм. По определению логарифма это равносильно $$\sqrt2\sin x+\sin2x+81=3^4=81,$$ т.е. $\sqrt2\sin x+\sin2x=0$. Так как $\sin2x=2\sin x\cos x$, получаем $$\sin x(\sqrt2+2\cos x)=0.$$

3. Разбиваем на два случая (произведение равно нулю).

• $\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$;
• $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$ или $x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

4. Проверка области определения. Аргумент логарифма $\sqrt2\sin x+\sin2x+81$ всегда больше нуля, так как максимум $|\sqrt2\sin x+\sin2x|$ не превышает $\sqrt2+1<81$. Значит все найденные корни допустимы.

5. Отбор корней на отрезке $[\pi;\,5\pi/2]$. Проверяем каждую серию, подставляя целые $k$:

• $x=\pi k$: подходят $k=1\ (\pi)$ и $k=2\ (2\pi)$;
• $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$: ни при каком $k$ значение не попадает в отрезок;
• $x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k$: подходит $k=0\ (\dfrac{5\pi}{4})$.

Итого корни на отрезке: $\pi,\ \dfrac{5\pi}{4},\ 2\pi$.