Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Логарифм $\log_{\cos x}(\cdot)$ существует только при $0<\cos x<1$ (основание положительное и не равно 1). Все дальнейшие преобразования делаем при этом условии.

Замечаем, что $4=\log_{\cos x}\cos^4x$, поэтому правая часть равна $\log_{\cos x}(3\cos^4x)$. Так как основания равны, уравнение равносильно равенству аргументов: $$3\sin^4x+\cos4x+2=3\cos^4x.$$

Переносим: $3(\sin^4x-\cos^4x)+\cos4x+2=0$. Используем $\sin^4x-\cos^4x=(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)=-\cos2x$. Получаем $-3\cos2x+\cos4x+2=0$.

Заменяем $\cos4x=2\cos^2 2x-1$: $2\cos^2 2x-3\cos2x+1=0$ — квадратное относительно $\cos2x$. Корни: $\cos2x=1$ или $\cos2x=\tfrac12$.

Если $\cos2x=1$, то $x=\pi k$, тогда $\cos x=\pm1$ — не подходит по ОДЗ ($\cos x$ должен быть строго между 0 и 1).

Если $\cos2x=\tfrac12$, то $2x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k$, то есть $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi k$. Проверяем знак косинуса: для чётных $k$ $\cos x=\cos(\pm\pi/6)=\dfrac{\sqrt3}{2}>0$ — подходит; для нечётных $k$ получаем $\cos x<0$ — не подходит. Значит остаются только $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$.

Для пункта б) подставляем эти серии в неравенство $-3\pi\le x\le2\pi$ и находим целые $k$, подходящие для каждой ветви (для $+$: $k\in\{-1,0\}$, для $-$: $k\in\{-1,0,1\}$), что даёт корни $-\dfrac{13\pi}{6},\,-\dfrac{11\pi}{6},\,-\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{11\pi}{6}$.