ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаЛогарифмические уравнения

а)  Решите уравнение левая круглая скобка минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,8 косинус x правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 6 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Показать, что логарифмический множитель на ОДЗ никогда не равен нулю (так как аргумент не превышает 0,8<1), поэтому уравнение сводится к тригонометрическому уравнению с ограничением cos⁡x<0\cos x<0, которое решается через замену cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x.

1. Область определения. Логарифм существует, если его аргумент положителен: −0,8cos⁡x>0⇒cos⁡x<0-0{,}8\cos x>0\Rightarrow \cos x<0.

2. Проверяем второй множитель. На области определения −0,8cos⁡x≤0,8<1-0{,}8\cos x\le 0{,}8<1. Так как log⁡0,5t=0\log_{0{,}5}t=0 только при t=1t=1, а t≤0,8<1t\le0{,}8<1, то log⁡0,5(−0,8cos⁡x)≠0\log_{0{,}5}(-0{,}8\cos x)\ne 0 никогда. Значит произведение равно нулю только когда нулю равен первый множитель.

3. Сводим к системе: {cos⁡x<0−2cos⁡2x+sin⁡x+1=0\begin{cases}\cos x<0\\ -2\cos^2x+\sin x+1=0\end{cases}

4. Приводим уравнение к одной функции. Используем cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x: −2(1−sin⁡2x)+sin⁡x+1=0⇒2sin⁡2x+sin⁡x−1=0.-2(1-\sin^2x)+\sin x+1=0\Rightarrow 2\sin^2x+\sin x-1=0.

5. Решаем квадратное относительно sin⁡x\sin x: корни sin⁡x=−1\sin x=-1 и sin⁡x=12\sin x=\dfrac12.

6. Проверяем условие cos⁡x<0\cos x<0.

  • sin⁡x=−1⇒x=−π2+2πn\sin x=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, тогда cos⁡x=0\cos x=0 — не подходит (нужно строгое неравенство).
  • sin⁡x=12\sin x=\dfrac12 даёт две серии: x=π6+2πkx=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k (здесь cos⁡x>0\cos x>0 — не подходит) и x=5π6+2πkx=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k (здесь cos⁡x<0\cos x<0 — подходит).

7. Ответ а): x=5π6+2πk, k∈Zx=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.

8. Отбор корней на [−6π;−4π][-6\pi;-4\pi]. Подставляем найденную серию в неравенство: −6π≤5π6+2πk≤−4π.-6\pi\le \frac{5\pi}{6}+2\pi k\le -4\pi. Делим на π\pi и умножаем на 6: −36≤5+12k≤−24-36\le5+12k\le-24, то есть −41≤12k≤−29-41\le12k\le-29. Единственное целое решение k=−3k=-3.

9. Находим корень: x=5π6−6π=5π−36π6=−31π6x=\dfrac{5\pi}{6}-6\pi=\dfrac{5\pi-36\pi}{6}=-\dfrac{31\pi}{6}.

Типичные ошибки

  • Забывают учесть ОДЗ cos⁡x<0\cos x<0 и берут обе серии решений sin⁡x=1/2\sin x=1/2, не проверяя знак косинуса.
  • Ошибочно считают, что логарифмический множитель может быть равен нулю, и пытаются решать уравнение −0,8cos⁡x=1-0,8\cos x=1.
  • При отборе корней на отрезке допускают арифметические ошибки при переводе неравенства с π\pi в целочисленное неравенство для kk.
Непонятно?

Похожие задачи