Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Шаг 1. Область определения. Логарифмы существуют, когда оба выражения под ними положительны: $\cos x-0{,}5>0$ и $\cos x+0{,}5>0$. Первое условие сильнее, значит ОДЗ: $\cos x>\dfrac12$.

Шаг 2. Свойство суммы логарифмов. По формуле $\log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab)$ (для $a,b>0$) объединяем левую часть: $$\log_2\left((\cos x-0{,}5)(\cos x+0{,}5)\right)=-1,$$ а произведение по формуле разности квадратов равно $\cos^2x-\dfrac14$.

Шаг 3. Уходим от логарифма. Равенство $\log_2 t=-1$ означает $t=2^{-1}=\dfrac12$. Получаем $$\cos^2x-\frac14=\frac12\;\Rightarrow\;\cos^2x=\frac34\;\Rightarrow\;\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

Шаг 4. Учёт ОДЗ. Так как нужно $\cos x>\dfrac12$, а $\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87>\dfrac12$, а $-\dfrac{\sqrt3}{2}<\dfrac12$, подходит только $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Шаг 5. Решаем простейшее уравнение. $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ даёт $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$.

Шаг 6 (пункт б). Отбираем корни на $[-\tfrac{5\pi}{2};-\pi]$, подставляя целые $k$ по очереди в обе серии $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ (удобно проверять на числовой окружности). Подходящими оказываются только $k=-1$ в каждой серии, что даёт $x=-\dfrac{11\pi}{6}$ и $x=-\dfrac{13\pi}{6}$ — оба лежат в заданном отрезке.