ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаТригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение левая круглая скобка минус 2 косинус в квадрате x плюс синус x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,8 косинус x правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 6 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю при соблюдении ОДЗ логарифма (cos⁡x<0\cos x<0); далее решаем тригонометрическое уравнение через замену cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x и проверяем найденные корни на знак косинуса.

1. ОДЗ. Логарифм существует, когда его аргумент положителен: −0,8cos⁡x>0⇒cos⁡x<0-0{,}8\cos x>0 \Rightarrow \cos x<0.

2. Произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей (при выполнении ОДЗ):

  • log⁡0,5(−0,8cos⁡x)=0⇒−0,8cos⁡x=1⇒cos⁡x=−54\log_{0{,}5}(-0{,}8\cos x)=0 \Rightarrow -0{,}8\cos x=1 \Rightarrow \cos x=-\dfrac54 — нет решений, так как ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le1.
  • −2cos⁡2x+sin⁡x+1=0-2\cos^2x+\sin x+1=0. Заменяем cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x: 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^2x+\sin x-1=0.

3. Решаем квадратное уравнение относительно t=sin⁡xt=\sin x: 2t2+t−1=0⇒t=−1±342t^2+t-1=0 \Rightarrow t=\dfrac{-1\pm3}{4}, то есть sin⁡x=12\sin x=\dfrac12 или sin⁡x=−1\sin x=-1.

4. Проверяем ОДЗ. Если sin⁡x=−1\sin x=-1, то x=−π2+2πnx=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, и cos⁡x=0\cos x=0 — не подходит (нужно строго меньше нуля). Если sin⁡x=12\sin x=\dfrac12, то x=π6+2πnx=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n (тут cos⁡x>0\cos x>0, не подходит) или x=5π6+2πnx=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n (тут cos⁡x<0\cos x<0 — подходит).

Итог: x=5π6+2πk, k∈Zx=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

5. Отбор корней на [−6π;−4π][-6\pi;-4\pi]. Составляем неравенство −6π≤5π6+2πk≤−4π-6\pi\le \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k\le-4\pi, делим на π\pi и упрощаем: −3712≤k≤−2912-\dfrac{37}{12}\le k\le-\dfrac{29}{12}. Единственное целое значение — k=−3k=-3.

6. Находим корень: x=5π6−6π=−31π6x=\dfrac{5\pi}{6}-6\pi=-\dfrac{31\pi}{6}.

Типичные ошибки

  • Забывают учесть ОДЗ логарифма (условие cos⁡x<0\cos x<0), из-за чего берут лишние корни.
  • Не проверяют оба множителя произведения — упускают, что второй множитель (log⁡=0\log=0) может не давать решений.
  • При отборе корней по отрезку ошибаются со знаком или направлением неравенства при делении на π\pi и находят неверное значение kk.
Непонятно?

Похожие задачи