Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Введём замену $t=\log_{3}(8\cos x+5\sqrt3)$. Тогда уравнение $2\log_3^{2}(8\cos x+5\sqrt3)-9\log_3(8\cos x+5\sqrt3)+4=0$ превращается в квадратное относительно $t$: $2t^{2}-9t+4=0$.

Дискриминант: $D=81-32=49$, корни $t=\dfrac{9\pm7}{4}$, то есть $t=4$ или $t=\dfrac12$ — это следует из формулы корней квадратного уравнения.

Возвращаемся к исходной переменной, используя определение логарифма ($\log_3 A=t \iff A=3^{t}$): $8\cos x+5\sqrt3=3^{4}=81$ или $8\cos x+5\sqrt3=3^{1/2}=\sqrt3$.

Из первого уравнения $\cos x=\dfrac{81-5\sqrt3}{8}\approx9.04>1$ — значение вне области значений косинуса, поэтому корней нет.

Из второго: $8\cos x=\sqrt3-5\sqrt3=-4\sqrt3$, значит $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. По таблице значений косинуса это даёт $x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ — общее решение уравнения $\cos x=a$ ($x=\pm\arccos a+2\pi k$).

Для пункта б) отбираем корни на отрезке $[2\pi;\,7\pi/2]$. Прибавляя к $\dfrac{5\pi}{6}$ число $2\pi$, получаем $\dfrac{17\pi}{6}\approx2.83\pi$ — попадает в отрезок. Прибавляя к $-\dfrac{5\pi}{6}$ число $4\pi$, получаем $\dfrac{19\pi}{6}\approx3.17\pi$ — тоже попадает. Другие значения $k$ дают числа вне заданного промежутка.