Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Область определения. Нужны $\cos x\neq0$ (из $\cos^{-2}x$), $\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\neq0$ (равносильно $\sin x\neq0$), и для логарифма — основание $\sin x>0$, $\sin x\neq1$.

Упрощаем правую часть. По свойству логарифма $\log_{\sin x}\sin^2x=2$ при допустимом основании — оно всегда равно 2, независимо от аргумента.

Упрощаем левую часть. По формуле приведения $\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x$, значит $$\sin^{-1}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{-\cos x}=-\frac{1}{\cos x}.$$ Уравнение принимает вид: $$\frac{1}{\cos^2x}-\frac{1}{\cos x}-2=0.$$

Замена. Пусть $t=\dfrac{1}{\cos x}$. Получаем $t^2-t-2=0$, откуда $(t+1)(t-2)=0$, то есть $t=-1$ или $t=2$.

Возврат к косинусу. $\cos x=-1$ или $\cos x=\dfrac12$.

Отбор по ОДЗ. При $\cos x=-1$ имеем $x=\pi+2\pi k$, но тогда $\sin x=0$ — не подходит (нарушено $\sin x>0$). При $\cos x=\dfrac12$ получаем $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$. Проверяем знак синуса: для $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$ синус положителен и не равен 1 — подходит; для $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$ синус отрицателен — не подходит.

Итог пункта а): $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б). Отрезок $[5\pi;7\pi]$ имеет длину $2\pi$, а шаг серии тоже $2\pi$, поэтому в отрезок попадает ровно одно значение. Решаем неравенство: $$5\pi\le \frac{\pi}{3}+2\pi k\le7\pi \;\Rightarrow\; 2{,}33\le k\le3{,}33,$$ целое решение $k=3$. Тогда $x=\dfrac{\pi}{3}+6\pi=\dfrac{19\pi}{3}$, что действительно лежит в $[5\pi;7\pi]$.