ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаУравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

а)  Решите уравнение дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка синус x минус 2 логарифм по основанию 2 в квадрате синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка , знаменатель: косинус левая круглая скобка \dfrac Пи 2 минус x правая круглая скобка плюс косинус левая круглая скобка 3 Пи минус x правая круглая скобка конец дроби =0.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 5 Пи правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Уравнение сводится к квадратному относительно t=log⁡2sin⁡xt=\log_2\sin x после сокращения общего множителя числителя и знаменателя с учётом условия sin⁡x≠cos⁡x\sin x\neq\cos x.

  1. Упростим знаменатель: cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x, а cos⁡(3π−x)=cos⁡3πcos⁡x+sin⁡3πsin⁡x=−cos⁡x\cos(3\pi-x)=\cos3\pi\cos x+\sin3\pi\sin x=-\cos x. Значит знаменатель равен sin⁡x−cos⁡x\sin x-\cos x, и нужно условие sin⁡x−cos⁡x≠0\sin x-\cos x\neq0.

  2. В числителе стоит тот же множитель (sin⁡x−cos⁡x)(\sin x-\cos x). Поскольку он не может быть нулём (иначе знаменатель обратится в 0), уравнение сводится к равенству второго множителя нулю: 1−log⁡0,5sin⁡x−2log⁡22sin⁡x=01-\log_{0{,}5}\sin x-2\log_2^2\sin x=0, при этом должно быть sin⁡x>0\sin x>0 (ОДЗ логарифма).

  3. Используем свойство log⁡1/2a=−log⁡2a\log_{1/2}a=-\log_2 a: получаем 1+log⁡2sin⁡x−2log⁡22sin⁡x=01+\log_2\sin x-2\log_2^2\sin x=0. Обозначим t=log⁡2sin⁡xt=\log_2\sin x, тогда 2t2−t−1=02t^2-t-1=0, откуда t=1t=1 или t=−12t=-\dfrac12.

  4. t=1t=1 даёт sin⁡x=2\sin x=2 — невозможно. t=−12t=-\dfrac12 даёт sin⁡x=22\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}, то есть x=π4+2πkx=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k или x=3π4+2πkx=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k.

  5. Проверяем условие sin⁡x≠cos⁡x\sin x\neq\cos x: при x=π4+2πkx=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k синус и косинус равны, значит эта серия не подходит. Остаётся x=3π4+2πk, k∈Zx=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

  6. Для отбора корней на [5π2;5π][\frac{5\pi}{2};5\pi] решаем неравенство 5π2≤3π4+2πk≤5π\dfrac{5\pi}{2}\le\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\le5\pi, что после деления на π\pi и умножения на 4 даёт 78≤k≤178\dfrac78\le k\le\dfrac{17}{8}, откуда k=1,2k=1,2.

  7. Подставляя, получаем корни x=11π4x=\dfrac{11\pi}{4} и x=19π4x=\dfrac{19\pi}{4}.

Типичные ошибки

  • Забывают учесть условие sin⁡x≠cos⁡x\sin x\neq\cos x и не отбрасывают серию x=π4+2πkx=\frac{\pi}{4}+2\pi k
  • Неправильно применяют свойство log⁡0,5a=−log⁡2a\log_{0,5}a=-\log_2 a, теряя знак
  • Ошибки при отборе корней на отрезке — неверное решение двойного неравенства для параметра kk
Непонятно?

Похожие задачи