ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаУравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

а)  Решите уравнение: дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 31 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x правая круглая скобка конец дроби = 0.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Дробь равна нулю только когда числитель нулевой, а знаменатель и все выражения под логарифмами удовлетворяют ОДЗ; после решения уравнения нужно проверить каждую серию корней на соответствие ограничениям cos x>0, cos x≠1/√2, cos x≠1.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля и все выражения под логарифмами определены.

ОДЗ. Нужно 2sin⁡2x>0⇒sin⁡x≠02\sin^2x>0\Rightarrow \sin x\neq0; 2cos⁡x>0⇒cos⁡x>0\sqrt2\cos x>0\Rightarrow\cos x>0; 2cos⁡x≠1⇒cos⁡x≠12\sqrt2\cos x\neq1\Rightarrow\cos x\neq\dfrac1{\sqrt2} (иначе знаменатель log⁡31(2cos⁡x)=0\log_{31}(\sqrt2\cos x)=0); также требуется cos⁡x≠1\cos x\neq1 (условие, чтобы аргумент не давал вырожденного случая). Итог: cos⁡x>0, cos⁡x≠12, cos⁡x≠1\cos x>0,\ \cos x\neq\dfrac1{\sqrt2},\ \cos x\neq1.

Числитель. (tan⁡x+3)log⁡13(2sin⁡2x)=0(\tan x+\sqrt3)\log_{13}(2\sin^2x)=0 даёт два случая: tan⁡x=−3илиsin⁡2x=12 (так как log⁡131=0).\tan x=-\sqrt3 \quad\text{или}\quad \sin^2x=\dfrac12\ (\text{так как }\log_{13}1=0).

Первый случай. tan⁡x=−3⇒x=−π3+πk\tan x=-\sqrt3\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k. При чётном kk cos⁡x=cos⁡π3=12>0\cos x=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12>0 — подходит; при нечётном kk cos⁡x=−12<0\cos x=-\dfrac12<0 — не подходит. Значит, x=−π3+2πkx=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, и cos⁡x=12\cos x=\dfrac12 удовлетворяет всем ограничениям.

Второй случай. sin⁡2x=12⇒x=±π4+πk\sin^2x=\dfrac12\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{4}+\pi k, тогда cos⁡x=±12\cos x=\pm\dfrac1{\sqrt2}. Но по ОДЗ cos⁡x≠12\cos x\neq\dfrac1{\sqrt2} и cos⁡x>0\cos x>0, поэтому эти корни отбрасываются.

Ответ а): x=−π3+2πk, k∈Zx=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Отбор корней на отрезке. Решаем −5π2≤−π3+2πk≤0-\dfrac{5\pi}{2}\le-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\le0. Прибавив π3\dfrac{\pi}{3}: −13π6≤2πk≤π3-\dfrac{13\pi}{6}\le2\pi k\le\dfrac{\pi}{3}, делим на 2π2\pi: −1312≤k≤16-\dfrac{13}{12}\le k\le\dfrac16. Целые kk: −1-1 и 00.

При k=−1k=-1: x=−π3−2π=−7π3x=-\dfrac{\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{3}. При k=0k=0: x=−π3x=-\dfrac{\pi}{3}. Оба значения лежат в [−5π2;0][-\dfrac{5\pi}{2};0].

Типичные ошибки

  • Забыть учесть ОДЗ логарифмов и знаменателя, приняв все корни числителя за решения
  • Не проверить, при каком чётности k косинус остаётся положительным, и включить лишние корни
  • При отборе на отрезке ошибиться в делении неравенства на 2π или неверно найти целые k
Непонятно?

Похожие задачи