Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Область определения. Основание логарифма $0,5\sin2x=\sin x\cos x$ должно быть положительным и не равным 1. Так как $\sin2x\le1$, то $0,5\sin2x\le0,5<1$ — условие «не равно 1» выполняется всегда. Условие $\sin x\cos x>0$ выполняется тогда и только тогда, когда $\sin x>0$ и $\cos x>0$ одновременно (первая четверть).

Переход к основаниям $\sin x$ и $\cos x$. Используем формулу смены основания $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ и то, что $\sin x\cos x=\sin x\cdot\cos x$: $$\log_{\sin x\cos x}\sin x=\frac{1}{\log_{\sin x}(\sin x\cos x)}=\frac{1}{1+\log_{\sin x}\cos x}.$$ Аналогично $\log_{\sin x\cos x}\cos x=\dfrac{1}{1+\log_{\cos x}\sin x}$.

Замена. Пусть $t=\log_{\sin x}\cos x$, тогда $\log_{\cos x}\sin x=\dfrac1t$ (взаимно обратные логарифмы). Уравнение принимает вид $$\frac{1}{1+t}\cdot\frac{t}{t+1}=\frac14\ \Rightarrow\ \frac{t}{(1+t)^2}=\frac14.$$

Решаем. $4t=(1+t)^2\Rightarrow t^2-2t+1=0\Rightarrow(t-1)^2=0\Rightarrow t=1$ (проверка $t\neq-1$ выполняется).

Возврат к $x$. $\log_{\sin x}\cos x=1\Rightarrow \cos x=\sin x\Rightarrow \tan x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k$. Из ОДЗ ($\sin x>0,\cos x>0$) подходит только первая четверть, значит нужно оставить только чётные полупериоды: $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

б) Отбор корней на $(2,25\pi;\,4,5\pi]$. Подставляем: $2,25\pi<\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\le4,5\pi$. Делим на $\pi$: $2,25<0,25+2k\le4,5\Rightarrow2<2k\le4,25\Rightarrow1<k\le2,125$. Целое $k=2$. Тогда $x=\dfrac{\pi}{4}+4\pi=\dfrac{17\pi}{4}$.