Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Шаг 1. ОДЗ. Логарифмы определены только при положительном аргументе, значит нужно $\sin x>0$ (это условие важно, чтобы корректно раскрыть квадрат под логарифмом).

Шаг 2. Упрощаем второй логарифм. Так как $\sin x>0$, то $|\sin x|=\sin x$, и $$\log_2\sin^2x=2\log_2|\sin x|=2\log_2\sin x.$$

Шаг 3. Вводим замену. Пусть $t=\log_2\sin x$. Тогда исходное уравнение $$\log_2^2\sin x+\log_2\sin^2x=\log_2 5\cdot\log_2\sin x$$ принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $$t^2+2t=t\log_2 5\ \Rightarrow\ t\big(t+2-\log_2 5\big)=0.$$

Шаг 4. Решаем совокупность. $t=0$ или $t=\log_2 5-2$. Заметим, что $2=\log_2 4$, поэтому $$\log_2 5-2=\log_2 5-\log_2 4=\log_2\frac{5}{4}.$$

Шаг 5. Возвращаемся к $\sin x$.

• $t=0\Rightarrow\log_2\sin x=0\Rightarrow\sin x=1$;
• $t=\log_2\frac54\Rightarrow\sin x=\dfrac54$ — это невозможно, так как синус не превышает 1.

Остаётся единственное уравнение $\sin x=1$, откуда $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$ Это ответ пункта а).

Шаг 6. Отбор корней на отрезке $\left[\dfrac{\pi}{6};2\pi\right]$. Подставим общий вид корня в двойное неравенство: $$\frac{\pi}{6}\le\frac{\pi}{2}+2\pi k\le 2\pi.$$ Разделим все части на $\pi$: $$\frac16\le\frac12+2k\le2.$$ Вычтем $\frac12$: $$-\frac13\le2k\le\frac32.$$ Разделим на 2: $$-\frac16\le k\le\frac34.$$ Единственное целое число в этом промежутке — $k=0$.

Подставляя $k=0$, получаем корень $x=\dfrac{\pi}{2}$, который действительно лежит в заданном отрезке.