Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю. Знаменатель — это $\log_2(\cos x)$, значит нужна область определения: аргумент логарифма положителен, то есть $\cos x>0$, и сам логарифм не равен нулю, то есть $\cos x\ne 1$. Итого: $0<\cos x<1$.

При этих условиях решаем числитель: $2\sin^2x-\sin x-1=0$. Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. По формуле корней: $\sin x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\dfrac{1\pm3}{4}$, откуда $\sin x=1$ или $\sin x=-\dfrac12$.

Случай $\sin x=1$ даёт $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, но тогда $\cos x=0$ — не входит в ОДЗ, отбрасываем.

Случай $\sin x=-\dfrac12$ даёт две серии: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ (тогда $\cos x=\cos(-\pi/6)=\dfrac{\sqrt3}{2}>0$ — подходит) и $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ (тогда $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}<0$ — не подходит).

Остаётся единственная серия корней: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

б) Ищем, какие из этих корней лежат в $[\pi;\,5\pi/2]$. Подставляя разные $k$: при $k=0$ получаем $-\pi/6$ — не подходит; при $k=1$ получаем $-\pi/6+2\pi=\dfrac{11\pi}{6}$, а $\pi\le \dfrac{11\pi}{6}\le\dfrac{5\pi}{2}$ — подходит; при $k=2$ получаем $\dfrac{23\pi}{6}$, что больше $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{15\pi}{6}$ — не подходит. Значит единственный корень на отрезке — $\dfrac{11\pi}{6}$.