Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Логарифм равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен 1 (при этом основание 13 положительное и не равно 1, так что условие корректно). Значит уравнение сводится к $\cos2x-9\sqrt{2}\cos x-8=1$, то есть $\cos2x-9\sqrt2\cos x-9=0$. Так как аргумент логарифма равен 1 (положительному числу), проверять ОДЗ отдельно не нужно.

Применяем формулу двойного угла $\cos2x=2\cos^2x-1$: $2\cos^2x-1-9\sqrt2\cos x-9=0 \Rightarrow 2\cos^2x-9\sqrt2\cos x-10=0$.

Вводим замену $t=\cos x$, получаем квадратное уравнение $2t^2-9\sqrt2\,t-10=0$. Дискриминант $D=(9\sqrt2)^2+80=162+80=242$, $\sqrt D=11\sqrt2$. Тогда $t=\dfrac{9\sqrt2\pm11\sqrt2}{4}$, то есть $t=5\sqrt2$ или $t=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Первый корень невозможен, так как $|\cos x|\le1$, а $5\sqrt2>1$. Остаётся $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$, что даёт стандартные решения $x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

Для пункта б) подставляем значения $n$ и отбираем корни, попадающие в $[-2\pi;-\pi/2]$. Из серии $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ при $n=-1$ получаем $x=-\dfrac{5\pi}{4}$ — подходит. Из серии $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ при $n=0$ получаем $x=-\dfrac{3\pi}{4}$ — тоже входит в отрезок. Остальные значения выходят за границы отрезка.