ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13

а)  Решите уравнение логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка = минус 1.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Свернуть произведение логарифмов по формуле log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c, учитывая ограничение 0<cos⁡x<10<\cos x<1, затем решить простое тригонометрическое уравнение и отобрать корни на отрезке через анализ знаков синуса/косинуса.

Шаг 1. ОДЗ. В выражении log⁡2(cos⁡x)⋅log⁡cos⁡x(sin⁡2x)=−1\log_{2}(\cos x)\cdot\log_{\cos x}(\sin^{2}x)=-1 основание второго логарифма — cos⁡x\cos x, поэтому нужно cos⁡x>0\cos x>0 и cos⁡x≠1\cos x\neq1, а аргументы обоих логарифмов должны быть положительны (что выполняется автоматически при cos⁡x∈(0,1)\cos x\in(0,1) и sin⁡2x>0\sin^2x>0).

Шаг 2. Смена основания. По свойству log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c произведение логарифмов сворачивается: log⁡2(cos⁡x)⋅log⁡cos⁡x(sin⁡2x)=log⁡2(sin⁡2x)\log_{2}(\cos x)\cdot\log_{\cos x}(\sin^{2}x)=\log_{2}(\sin^{2}x). Уравнение принимает вид log⁡2(sin⁡2x)=−1\log_{2}(\sin^{2}x)=-1 при условии 0<cos⁡x<10<\cos x<1.

Шаг 3. Освобождение от логарифма. log⁡2(sin⁡2x)=−1⇒sin⁡2x=2−1=12\log_{2}(\sin^{2}x)=-1\Rightarrow \sin^{2}x=2^{-1}=\dfrac12, то есть sin⁡x=±22\sin x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}.

Шаг 4. Учёт ограничения на косинус. Условие 0<cos⁡x<10<\cos x<1 означает, что xx лежит в I или IV четверти (где косинус положителен), но не равен 00. В I четверти sin⁡x=22\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2} даёт x=π4+2πkx=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k; в IV четверти sin⁡x=−22\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2} даёт x=−π4+2πkx=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k. Оба семейства удовлетворяют 0<cos⁡x<10<\cos x<1.

Шаг 5. Отбор корней на отрезке. Проверяем оба семейства на [−4π;−11π4]≈[−12,57;−8,64][-4\pi;-\dfrac{11\pi}{4}]\approx[-12{,}57;-8{,}64]. Для x=−π4+2πkx=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k: при k=−1k=-1 получаем −9π4≈−7,07-\dfrac{9\pi}{4}\approx-7{,}07 (не входит), при k=−2k=-2 — −17π4≈−13,35-\dfrac{17\pi}{4}\approx-13{,}35 (не входит). Для x=π4+2πkx=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k: при k=−1k=-1 — −7π4≈−5,50-\dfrac{7\pi}{4}\approx-5{,}50 (не входит), при k=−2k=-2 — −15π4≈−11,78-\dfrac{15\pi}{4}\approx-11{,}78 — попадает в отрезок.

Поэтому единственный корень на заданном промежутке — −15π4-\dfrac{15\pi}{4}.

Типичные ошибки

  • Забывают учесть ограничение cos⁡x≠1\cos x\neq 1 (то есть x≠2πnx\neq 2\pi n), что приводит к появлению посторонних корней.
  • Не разделяют случаи sin⁡x=22\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2} и sin⁡x=−22\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2} по знаку косинуса, теряя часть решений или добавляя лишние.
  • При отборе корней на отрезке ошибаются в переводе значений kk в числовые приближения и пропускают подходящий корень.
Непонятно?

Похожие задачи