ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Логарифмические уравненияТригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение логарифм по основанию левая круглая скобка синус x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус 2x минус синус x плюс 1 правая круглая скобка =2.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Раскрыть логарифм по определению (подлогарифменное выражение = основание в степени показателя), привести уравнение через cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos2x=1-2\sin^2x к квадратному относительно sin⁡x\sin x, решить его и отфильтровать корни по ОДЗ (sin⁡x>0\sin x>0, sin⁡x≠1\sin x\neq1), затем отобрать нужные значения на заданном отрезке с помощью единичной окружности.

1. ОДЗ. Основание логарифма — sin⁡x\sin x, значит нужно sin⁡x>0\sin x>0 и sin⁡x≠1\sin x\neq1 (по свойствам логарифма основание должно быть положительным и не равным единице).

2. Раскрываем логарифм. Равенство log⁡sin⁡x(cos⁡2x−sin⁡x+1)=2\log_{\sin x}(\cos2x-\sin x+1)=2 означает, что подлогарифменное выражение равно квадрату основания: cos⁡2x−sin⁡x+1=sin⁡2x.\cos2x-\sin x+1=\sin^2x.

3. Приводим к одной функции. Используем формулу cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos2x=1-2\sin^2x: 1−2sin⁡2x−sin⁡x+1=sin⁡2x ⇒ 3sin⁡2x+sin⁡x−2=0.1-2\sin^2x-\sin x+1=\sin^2x\ \Rightarrow\ 3\sin^2x+\sin x-2=0.

4. Решаем квадратное уравнение относительно t=sin⁡xt=\sin x: t=−1±1+246=−1±56 ⇒ t=−1 или t=23.t=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{6}=\frac{-1\pm5}{6}\ \Rightarrow\ t=-1\ \text{или}\ t=\frac{2}{3}.

5. Учитываем ОДЗ. Значение sin⁡x=−1\sin x=-1 отбрасываем, так как нужно sin⁡x>0\sin x>0. Остаётся sin⁡x=23\sin x=\frac{2}{3} (это число не равно 1, ОДЗ выполнено).

6. Записываем серии корней: x=arcsin⁡23+2πk,x=π−arcsin⁡23+2πk,k∈Z.x=\arcsin\frac{2}{3}+2\pi k,\qquad x=\pi-\arcsin\frac{2}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.

7. Отбор корней на [π/2; 2π][\pi/2;\,2\pi]. Так как arcsin⁡23≈0,73<π/2\arcsin\frac23\approx0{,}73<\pi/2, первая серия при k=0k=0 не попадает в отрезок, а при k=1k=1 уходит за 2π2\pi. Вторая серия при k=0k=0 даёт x=π−arcsin⁡23≈2,41x=\pi-\arcsin\frac23\approx2{,}41, что лежит между π/2≈1,57\pi/2\approx1{,}57 и 2π≈6,282\pi\approx6{,}28 — подходит; при других kk значения выходят за границы отрезка. Значит единственный корень на данном промежутке — π−arcsin⁡23\pi-\arcsin\frac{2}{3}.

Типичные ошибки

  • Забывают учесть ОДЗ логарифма (sin⁡x>0, sin⁡x≠1\sin x>0,\ \sin x\neq1) и берут оба корня квадратного уравнения.
  • Ошибаются в формуле замены cos⁡2x\cos2x, используя не тот вариант (через cos⁡2x\cos^2x вместо sin⁡2x\sin^2x), что усложняет решение.
  • При отборе корней на отрезке не учитывают величину arcsin⁡23\arcsin\frac23 относительно π/2\pi/2 и включают лишние или теряют нужные значения kk.
Непонятно?

Похожие задачи