Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — не равен и определён (то есть выполняется ОДЗ).

ОДЗ. Нужно: $\sin x\neq0$ (для $\tan x$), $2\sin^2x>0$ (аргумент первого логарифма) — то же условие $\sin x\neq0$; $\sqrt2\cos x>0\Rightarrow \cos x>0$; и $\log_{47}(\sqrt2\cos x)\neq0\Rightarrow \sqrt2\cos x\neq1\Rightarrow\cos x\neq\dfrac{1}{\sqrt2}$.

Числитель = 0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $\tan x=-\sqrt3$ или $\log_{13}(2\sin^2x)=0\Rightarrow 2\sin^2x=1\Rightarrow \sin x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}$.

Отсюда $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$ или $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+\pi k$.

Проверка по ОДЗ. Для $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$: при чётном $k$ $\cos x=\cos(-\pi/3)=1/2>0$, условие $\cos x\neq1/\sqrt2$ выполнено — подходит. При нечётном $k$ $\cos x=-1/2<0$ — не подходит. Значит остаётся $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$.

Для $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+\pi k$: косинус равен $\pm\dfrac{1}{\sqrt2}$ — либо запрещённое значение ($1/\sqrt2$), либо отрицательное ($-1/\sqrt2$), то есть эти серии всегда нарушают ОДЗ. Их отбрасываем.

Итоговый ответ а): $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$.

б) Нужно найти $k$, при котором $x$ попадает в $(-\pi/2;\pi/2)$: $-\dfrac{\pi}{2}<-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k<\dfrac{\pi}{2}$. После деления на $\pi$ и упрощения получаем $-1<-\dfrac23+4k<1$, откуда единственное целое решение $k=0$. Значит корень в интервале — $x=-\dfrac{\pi}{3}$.