ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Логарифмические уравненияОбласть определения уравнения

а)  Решите уравнение логарифм по основанию 2 синус 2x плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Свести сумму логарифмов к одному логарифму, используя свойство log⁡1/ab=−log⁡ab\log_{1/a}b=-\log_a b и формулу синуса двойного угла, чтобы получить простое тригонометрическое уравнение с учётом ОДЗ.

  1. ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, то есть sin⁡2x>0\sin 2x>0 и cos⁡x>0\cos x>0.

  2. Используем свойство: log⁡1/2cos⁡x=−log⁡2cos⁡x\log_{1/2}\cos x=-\log_2\cos x (переход к основанию, обратному 2, меняет знак). Тогда уравнение принимает вид log⁡2sin⁡2x−log⁡2cos⁡x=12\log_2\sin2x-\log_2\cos x=\dfrac12, то есть log⁡2sin⁡2xcos⁡x=12\log_2\dfrac{\sin2x}{\cos x}=\dfrac12.

  3. Раскрываем sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x, и при cos⁡x≠0\cos x\neq0 дробь сокращается: sin⁡2xcos⁡x=2sin⁡x\dfrac{\sin2x}{\cos x}=2\sin x. Получаем log⁡2(2sin⁡x)=12\log_2(2\sin x)=\dfrac12, что равносильно системе {2sin⁡x=2, cos⁡x>0}\{2\sin x=\sqrt2,\ \cos x>0\} (второе условие — часть ОДЗ, при этом sin⁡2x>0\sin2x>0 выполняется автоматически, если sin⁡x>0\sin x>0 и cos⁡x>0\cos x>0).

  4. Отсюда sin⁡x=22\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}, а при условии cos⁡x>0\cos x>0 подходит только серия из первой четверти: x=π4+2πk, k∈Zx=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

  5. Для отбора корней на отрезке [−5π2;−π2][-\tfrac{5\pi}{2};-\tfrac{\pi}{2}] подставляем целые kk: при k=−1k=-1 получаем x=π4−2π=−7π4x=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{4}, это значение лежит в заданном отрезке (между −2,5π-2{,}5\pi и −0,5π-0{,}5\pi). При k=−2k=-2 получаем x=−15π4x=-\dfrac{15\pi}{4} — оно меньше левой границы, значит не подходит. Других вариантов нет.

Ответ для пункта б): −7π4-\dfrac{7\pi}{4}.

Типичные ошибки

  • Забыть учесть ОДЗ (cos⁡x>0\cos x>0), что приводит к появлению лишних корней из второй четверти.
  • Ошибка при переходе к основанию 1/21/2: неверная смена знака логарифма.
  • Неправильный отбор корней на отрезке — потеря или добавление лишнего значения при подстановке целых kk.
Непонятно?

Похожие задачи