Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Шаг 1. Область допустимых значений. Дробь равна нулю там, где числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю. Знаменатель — это $\log_4(\cos x+1)$, значит нужно: аргумент логарифма положителен, то есть $\cos x+1>0$ (значит $\cos x\neq-1$), и сам логарифм не равен нулю, то есть $\cos x+1\neq1$ (значит $\cos x\neq0$).

Шаг 2. Решаем числитель. Уравнение $\sin2x\cos2x+2\sin2x=0$ раскладывается на множитель: $\sin2x(\cos2x+2)=0$. Второй множитель $\cos2x+2$ всегда больше нуля (так как $\cos2x\ge-1$, то $\cos2x+2\ge1$), поэтому обращается в ноль только $\sin2x$: $\sin2x=0 \Rightarrow 2x=\pi k \Rightarrow x=\dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}$.

Шаг 3. Проверка по ОДЗ. Подставляем найденные корни и смотрим, какие значения $\cos x$ они дают:

• при $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ и $x=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k$ получаем $\cos x=0$ — не подходит (запрещено);
• при $x=\pi+2\pi k$ получаем $\cos x=-1$ — не подходит (запрещено);
• при $x=2\pi k$ получаем $\cos x=1$, тогда $\cos x+1=2>0$ и $\ne1$ — подходит.

Значит решение уравнения: $x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

Шаг 4. Отбор корней на отрезке. Подставляем в неравенство $-3\pi\le 2\pi k\le -\dfrac{3\pi}{2}$. Делим все части на $2\pi$: $-\dfrac{3}{2}\le k\le -\dfrac{3}{4}$. Целое число в этом промежутке только $k=-1$.

Шаг 5. Находим корень. При $k=-1$: $x=2\pi\cdot(-1)=-2\pi$.