ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенсУравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус 2x правая круглая скобка минус 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 косинус x плюс 1 конец аргумента конец дроби = 0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Свернуть подлогарифменное выражение 1−sin⁡2x1-\sin2x в квадрат (sin⁡x−cos⁡x)2(\sin x-\cos x)^2, применить определение логарифма, свести к tan⁡2x=1\tan2x=1, а затем отобрать корни по ОДЗ (через единичную окружность) и по заданному отрезку.

  1. Уравнение — дробь, равная нулю, значит числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Из условий существования логарифма и корней получаем ОДЗ: sin⁡x<0\sin x<0, sin⁡x≠−22\sin x\ne-\dfrac{\sqrt2}{2}, cos⁡x>−12\cos x>-\dfrac12, sin⁡2x≠1\sin2x\ne1.

  2. При таких x числитель даёт равносильное уравнение log⁡−2sin⁡x(1−sin⁡2x)=2\log_{-\sqrt2\sin x}(1-\sin2x)=2. Заметим, что 1−sin⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21-\sin2x=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=(\sin x-\cos x)^2 — это тождество, а не догадка, оно превращает подлогарифменное выражение в квадрат разности.

  3. По определению логарифма (sin⁡x−cos⁡x)2=(−2sin⁡x)2=2sin⁡2x(\sin x-\cos x)^2=(-\sqrt2\sin x)^2=2\sin^2x. Раскрывая квадрат и приводя подобные, получаем sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x−cos⁡2x=0\sin^2x+2\sin x\cos x-\cos^2x=0, то есть sin⁡2x−cos⁡2x=0\sin2x-\cos2x=0, откуда tan⁡2x=1\tan2x=1.

  4. Решение: 2x=π4+πk⇒x=π8+πk22x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{2}.

  5. Проверка по единичной окружности показывает, что из четырёх точек серии условиям sin⁡x<0\sin x<0 и cos⁡x>−12\cos x>-\dfrac12 одновременно удовлетворяет только x=−3π8+2πkx=-\dfrac{3\pi}{8}+2\pi k — остальные попадают в зону, где cos⁡x≤−12\cos x\le-\dfrac12 или sin⁡x≥0\sin x\ge0.

  6. Для отбора корней на [−3π;−3π2][-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}] решаем двойное неравенство −3π≤−3π8+2πk≤−3π2-3\pi\le-\dfrac{3\pi}{8}+2\pi k\le-\dfrac{3\pi}{2}, что даёт −1.3125≤k≤−0.5625-1.3125\le k\le-0.5625, то есть единственное целое k=−1k=-1. Подставляя, получаем x=−3π8−2π=−19π8x=-\dfrac{3\pi}{8}-2\pi=-\dfrac{19\pi}{8}.

Типичные ошибки

  • Забывают учесть ОДЗ логарифма (основание положительно и не равно 1, подлогарифменное выражение положительно) и знаменателя (подкоренное выражение положительно), из-за чего берут все корни серии, а не только подходящие.
  • Ошибаются при преобразовании 1−sin⁡2x1-\sin2x в квадрат разности синуса и косинуса или неверно раскрывают квадрат при возведении в степень логарифма.
  • При отборе корней на отрезке допускают арифметическую ошибку в двойном неравенстве и получают неверное значение параметра k.
Непонятно?

Похожие задачи