Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ОДЗ: аргументы под логарифмом должны быть положительными, т.е. $\sin\!\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)>0$ и $\sin\!\left(x+\frac{\pi}{12}\right)>0$.

По свойству логарифмов $\log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab)$ уравнение переписывается как $\log_2\!\left[\sin\!\left(x+\frac{5\pi}{12}\right)\sin\!\left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right]=-1$, то есть произведение синусов равно $2^{-1}=\frac12$.

Используем формулу произведения синусов $\sin A\sin B=\frac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$. Здесь $A-B=\frac{\pi}{3}$, $A+B=2x+\frac{\pi}{2}$. Получаем $\frac12\left[\cos\frac{\pi}{3}-\cos\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)\right]=\frac12$. Так как $\cos\!\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin 2x$ и $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$, уравнение сводится к $\sin 2x=\frac12$.

Решаем базовое уравнение: $2x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ или $2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$, откуда $x=\frac{\pi}{12}+\pi k$ или $x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверяем ОДЗ. Подставив $x=\frac{\pi}{12}+\pi k$, получаем $\sin\!\left(\frac{\pi}{6}+\pi k\right)=\frac12(-1)^k$ и $\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right)=(-1)^k$ — оба положительны только при чётных $k$. Аналогично для второй серии. Значит, окончательно остаются $x=\frac{\pi}{12}+2\pi k$ и $x=\frac{5\pi}{12}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Для пункта б) берём $k=0$: оба значения $\frac{\pi}{12}$ и $\frac{5\pi}{12}$ лежат в отрезке $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$, других значений $k$ в этот промежуток не попадает.