Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

1. ОДЗ. Логарифм определён при $8\sin x-\sqrt3>0$.

2. Замена. Пусть $t=\log_3(8\sin x-\sqrt3)$. Тогда уравнение принимает вид $2t^2-7t+6=0$. Это квадратное уравнение решаем через дискриминант: $D=49-4\cdot2\cdot6=1$, значит $t=\dfrac{7\pm1}{4}$, то есть $t_1=2$, $t_2=\dfrac32$.

3. Обратная замена. $\log_3(8\sin x-\sqrt3)=2 \Rightarrow 8\sin x-\sqrt3=9 \Rightarrow \sin x=\dfrac{9+\sqrt3}{8}>1$ — решений нет, так как синус не превышает 1.

$\log_3(8\sin x-\sqrt3)=\dfrac32 \Rightarrow 8\sin x-\sqrt3=3^{3/2}=3\sqrt3 \Rightarrow \sin x=\dfrac{4\sqrt3}{8}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Это значение допустимо, ОДЗ выполняется, так как $8\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3=3\sqrt3>0$.

4. Решение $\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Общее решение: $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$ или $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

5. Отбор корней на $[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}]$. Подставляя целые $k$ и проверяя попадание в промежуток (удобно представить границы в третях $\pi$: $-3\pi=-\frac{9\pi}{3}$, $-\frac{3\pi}{2}=-\frac{9\pi}{6}$), находим, что подходит только $x=\dfrac{\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{3}$ — оно лежит внутри отрезка, остальные значения выходят за его пределы.