ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаЛогарифмические уравнения и неравенства

а)  Решите уравнение логарифм по основанию левая круглая скобка синус x правая круглая скобка левая круглая скобка синус 2x плюс 2 корень из 3 синус в квадрате x плюс синус x правая круглая скобка = 1.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Использовать определение логарифма (log⁡ab=1  ⟺  b=a, a>0, a≠1\log_a b=1\iff b=a,\ a>0,\ a\ne1), свести уравнение к тригонометрическому уравнению на cot⁡x\cot x, а затем отобрать корни, удовлетворяющие условию положительности синуса.
  1. Логарифм равен 1 означает, что аргумент равен основанию, а само основание положительно и не равно 1: sin⁡2x+23sin⁡2x+sin⁡x=sin⁡x,sin⁡x>0, sin⁡x≠1.\sin 2x+2\sqrt3\sin^2x+\sin x=\sin x,\qquad \sin x>0,\ \sin x\ne1.
  2. Сокращаем sin⁡x\sin x в обеих частях равенства (учитывая, что sin⁡x≠0\sin x\ne0 из‑за условия sin⁡x>0\sin x>0): sin⁡2x+23sin⁡2x=0.\sin 2x+2\sqrt3\sin^2x=0.
  3. Заменяем sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x и выносим 2sin⁡x2\sin x за скобку: 2sin⁡x(cos⁡x+3sin⁡x)=0.2\sin x(\cos x+\sqrt3\sin x)=0. Поскольку sin⁡x≠0\sin x\ne0, остаётся cos⁡x+3sin⁡x=0\cos x+\sqrt3\sin x=0.
  4. Делим на sin⁡x\sin x (это возможно, т.к. sin⁡x≠0\sin x\ne0) и получаем условие через котангенс: cot⁡x=−3.\cot x=-\sqrt3. Отсюда x=−π6+πk, k∈Zx=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.
  5. Проверяем условие sin⁡x>0\sin x>0. При чётном kk sin⁡ ⁣(−π6)<0\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)<0 — не подходит; при нечётном kk x=5π6+2πkx=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, и sin⁡5π6=12>0\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12>0 — подходит, а также sin⁡x≠1\sin x\ne1 выполняется. Таким образом общее решение x=5π6+2πk, k∈Z.x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.
  6. Для пункта б) находим, какие члены этой серии попадают в отрезок [−π/2; 2π][-\pi/2;\,2\pi]. Расстояние между соседними значениями равно 2π2\pi, а длина отрезка меньше 2π2\pi, поэтому в него может попасть не более одного члена. Проверкой убеждаемся, что подходит именно x=5π6x=\dfrac{5\pi}{6}.

Типичные ошибки

  • Забывают учесть ограничения на основание логарифма (sin⁡x>0, sin⁡x≠1\sin x>0,\ \sin x\ne1), получая лишние или потерянные корни.
  • Делят уравнение на sin⁡x\sin x без проверки того, что sin⁡x≠0\sin x\ne0, теряя часть анализа.
  • При отборе корней на отрезке не проверяют, какие именно значения параметра kk попадают в границы, и включают посторонние решения.
Непонятно?

Похожие задачи