ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Логарифмические уравненияТригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус 16 косинус в степени 4 x правая круглая скобка =2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка конец дроби .

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Свести логарифмическое уравнение с переменным основанием к равенству показателей через замену t=4cos⁡2xt=4\cos^2x и свойства логарифмов (сложение логарифмов и переход к общему основанию), затем решить простое тригонометрическое уравнение cos⁡x=±1/2\cos x=\pm1/2 и отобрать корни на заданном отрезке с помощью тригонометрической окружности.

Введём замену t=4cos⁡2xt=4\cos^2 x, тогда 3−4cos⁡2x=3−t3-4\cos^2x=3-t, 9−16cos⁡4x=(3−t)(3+t)9-16\cos^4x=(3-t)(3+t).

Правую часть перепишем, используя свойство 1log⁡2a=log⁡a2\dfrac{1}{\log_2 a}=\log_a 2: 2+log⁡3−t22+\log_{3-t}2.

Уравнение: log⁡3−t((3−t)(3+t))=2+log⁡3−t2\log_{3-t}\big((3-t)(3+t)\big)=2+\log_{3-t}2.

По свойству логарифма произведения: log⁡3−t(3−t)+log⁡3−t(3+t)=1+log⁡3−t(3+t)\log_{3-t}(3-t)+\log_{3-t}(3+t)=1+\log_{3-t}(3+t).

Получаем log⁡3−t(3+t)=1+log⁡3−t2=log⁡3−t(3−t)+log⁡3−t2=log⁡3−t(2(3−t))\log_{3-t}(3+t)=1+\log_{3-t}2=\log_{3-t}(3-t)+\log_{3-t}2=\log_{3-t}\big(2(3-t)\big).

Так как логарифмы равны и основания совпадают, аргументы равны: 3+t=2(3−t)3+t=2(3-t), откуда t=1t=1.

Проверяем ОДЗ: основание 3−t=2>03-t=2>0 и ≠1\neq1 — подходит.

Возвращаемся к xx: 4cos⁡2x=1⇒cos⁡x=±124\cos^2x=1\Rightarrow\cos x=\pm\dfrac12, значит x=±π3+πk, k∈Zx=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

б) Ищем корни на [−π/3; 2π/3][-\pi/3;\,2\pi/3]. Из серии x=π/3+πkx=\pi/3+\pi k подходит k=0k=0: x=π/3x=\pi/3. Из серии x=−π/3+πkx=-\pi/3+\pi k подходят k=0k=0: x=−π/3x=-\pi/3 и k=1k=1: x=2π/3x=2\pi/3. Остальные значения kk выходят за границы отрезка.

Итоговые корни: −π/3, π/3, 2π/3-\pi/3,\ \pi/3,\ 2\pi/3.

Типичные ошибки

  • Забывают проверить ОДЗ для основания логарифма (условие 3−t>0, 3−t≠13-t>0,\ 3-t\neq1), что может привести к появлению посторонних корней.
  • Ошибочно объединяют обе серии решений x=±π/3+πkx=\pm\pi/3+\pi k в одну при отборе корней на отрезке, теряя часть значений или добавляя лишние.
  • Путают преобразование 1/log⁡2a=log⁡a21/\log_2 a=\log_a2 с неверной формулой смены основания, что искажает уравнение.
Непонятно?

Похожие задачи