ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Логарифмические уравненияТригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

а)  Решите уравнение логарифм по основанию левая круглая скобка 125 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка плюс 2 косинус в квадрате x минус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 12 правая круглая скобка косинус x плюс 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка = x.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 7 Пи правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Используем свойство логарифма log⁡b(bx)=x\log_b(b^x)=x, чтобы убрать логарифм и одновременно автоматически выполнить условие положительности аргумента, после чего решаем полученное тригонометрическое уравнение методом группировки.

  1. Уравнение имеет вид log⁡125 ⁣(53x+2cos⁡2x−(3+12)cos⁡x+63)=x\log_{125}\!\big(5^{3x}+2\cos^2x-(\sqrt3+12)\cos x+6\sqrt3\big)=x. По определению логарифма это равносильно тому, что подлогарифмическое выражение равно 125x=53x125^{x}=5^{3x} (при этом сразу гарантируется положительность аргумента, так как 53x>05^{3x}>0).

  2. Получаем уравнение без логарифма: 53x+2cos⁡2x−(3+12)cos⁡x+63=53x.5^{3x}+2\cos^2x-(\sqrt3+12)\cos x+6\sqrt3=5^{3x}. Слагаемые 53x5^{3x} взаимно уничтожаются, остаётся чисто тригонометрическое уравнение: 2cos⁡2x−3cos⁡x−12cos⁡x+63=0.2\cos^2x-\sqrt3\cos x-12\cos x+6\sqrt3=0.

  3. Группируем слагаемые, чтобы вынести общий множитель: cos⁡x(2cos⁡x−3)−6(2cos⁡x−3)=0  ⇒  (cos⁡x−6)(2cos⁡x−3)=0.\cos x(2\cos x-\sqrt3)-6(2\cos x-\sqrt3)=0\;\Rightarrow\;(\cos x-6)(2\cos x-\sqrt3)=0.

  4. Уравнение cos⁡x=6\cos x=6 не имеет решений, так как косинус не превышает 1 по модулю. Значит, 2cos⁡x−3=02\cos x-\sqrt3=0, то есть cos⁡x=32\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}.

  5. Решаем базовое тригонометрическое уравнение: x=±π6+2πk,  k∈Zx=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;k\in\mathbb Z.

  6. Для отбора корней на [ 11π/2; 7π ][\,11\pi/2;\,7\pi\,] подставляем оба семейства и подбираем целые kk: для x=π/6+2πkx=\pi/6+2\pi k подходит k=3k=3, даёт x=37π/6x=37\pi/6; для x=−π/6+2πkx=-\pi/6+2\pi k также k=3k=3, даёт x=35π/6x=35\pi/6. Оба значения лежат в заданном отрезке, соседние kk выходят за его границы.

Типичные ошибки

  • Забывают проверить, что после сокращения 53x5^{3x} область определения логарифма (положительность аргумента) выполняется автоматически, и пытаются отдельно решать неравенство.
  • Ошибаются при группировке слагаемых и не находят общий множитель (2cos⁡x−3)(2\cos x-\sqrt3), теряя часть корней.
  • При отборе корней на отрезке неверно подбирают целые kk, путая границы интервала или знак в формуле x=±π/6+2πkx=\pm\pi/6+2\pi k.
Непонятно?

Похожие задачи