Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Учтём область допустимых значений: основание логарифма должно быть положительным и не равным 1, а аргумент — положительным. Здесь основание $\sqrt2\sin x$, значит $\sin x>0$ и $\sqrt2\sin x\neq1$ (то есть $\sin x\neq \frac{1}{\sqrt2}$). При $\sin x>0$ автоматически $1+\cos x>0$, так что дополнительных ограничений не нужно.

По определению логарифма $\log_a b=2$ означает $b=a^2$. Значит $$1+\cos x=(\sqrt2\sin x)^2=2\sin^2x.$$

Заменим $\sin^2x=1-\cos^2x$ (основное тригонометрическое тождество), получим $$1+\cos x=2(1-\cos^2x)=2-2\cos^2x.$$ Перенесём всё в одну сторону: $$2\cos^2x+\cos x-1=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. По формуле корней: $$\cos x=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1\pm3}{4}.$$ Отсюда $\cos x=1/2$ или $\cos x=-1$.

Проверяем по ОДЗ. Если $\cos x=-1$, то $\sin x=0$, а нам нужно $\sin x>0$ — этот корень не подходит. Если $\cos x=1/2$, то $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$. Для $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k$ имеем $\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}<0$ — не подходит. Для $x=\frac{\pi}{3}+2\pi k$ имеем $\sin x=\frac{\sqrt3}{2}>0$ и $\sin x\neq\frac1{\sqrt2}$ — все условия выполнены.

Итак, решение уравнения: $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\;k\in\mathbb Z$.

Для пункта б) заметим, что длина отрезка $[-\frac{2\pi}{3};\frac{\pi}{3}]$ равна $\pi$, то есть меньше периода серии $2\pi$, поэтому в отрезок может попасть не более одного значения из серии. При $k=0$ получаем $x=\frac{\pi}{3}$, которое лежит на правом конце отрезка (граница включена). Проверка соседних $k=\pm1$ даёт значения вне отрезка. Значит, единственный подходящий корень — $x=\frac{\pi}{3}$.