ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Область определения уравненияПоказательные уравнения

а)  Решите уравнение логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x минус 6 косинус в квадрате x минус 2 правая круглая скобка =x.

б)  Найдите решения уравнения из отрезка левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Использовать определение логарифма (равенство аргумента 9x9^x) для сведения уравнения к чисто тригонометрическому, затем решить квадратное уравнение относительно sin⁡x\sin x и отобрать корни на заданном отрезке с помощью окружности.
  1. Уравнение log⁡9 ⁣(32x+52sin⁡x−6cos⁡2x−2)=x\log_9\!\left(3^{2x}+5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2\right)=x означает, что подлогарифмическое выражение равно 9x=32x9^{x}=3^{2x} (по определению логарифма при основании 9). Значит 32x+52sin⁡x−6cos⁡2x−2=32x.3^{2x}+5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2=3^{2x}.
  2. Слагаемые 32x3^{2x} взаимно уничтожаются, остаётся тригонометрическое уравнение: 52sin⁡x−6cos⁡2x−2=0.5\sqrt2\sin x-6\cos^2x-2=0. Поскольку выражение справа автоматически равно 9x>09^x>0, дополнительных ограничений на область определения нет.
  3. Заменим cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x (основное тригонометрическое тождество), получим квадратное уравнение относительно sin⁡x\sin x: 6sin⁡2x+52sin⁡x−8=0.6\sin^2x+5\sqrt2\sin x-8=0.
  4. Дискриминант: D=(52)2+4⋅6⋅8=50+192=242=(112)2D=(5\sqrt2)^2+4\cdot6\cdot8=50+192=242=(11\sqrt2)^2. Корни: sin⁡x=−52±11212⇒sin⁡x=22 или sin⁡x=−423.\sin x=\frac{-5\sqrt2\pm11\sqrt2}{12}\Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt2}{2}\ \text{или}\ \sin x=-\frac{4\sqrt2}{3}. Второй корень по модулю больше 1, значит не подходит.
  5. Решаем sin⁡x=22\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}: это стандартное значение, соответствующее x=π4+2πkилиx=3π4+2πk, k∈Z.x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.
  6. Для отбора корней на [−3π2;2π3][-\frac{3\pi}{2};\frac{2\pi}{3}] отметим полученные серии на тригонометрическом круге. При k=0k=0 подходит x=π/4x=\pi/4 (входит в промежуток), а 3π/43\pi/4 больше правой границы 2π/32\pi/3 — отбрасываем. При k=−1k=-1: x=3π/4−2π=−5π/4x=3\pi/4-2\pi=-5\pi/4 попадает в промежуток (так как −3π/2<−5π/4<2π/3-3\pi/2<-5\pi/4<2\pi/3), а x=π/4−2π=−7π/4x=\pi/4-2\pi=-7\pi/4 меньше левой границы — отбрасываем.
  7. Итог: подходящие значения — −5π4-\dfrac{5\pi}{4} и π4\dfrac{\pi}{4}.

Типичные ошибки

  • Забывают, что log⁡9(⋅)=x\log_9(\cdot)=x означает равенство аргумента 9x9^x, и пытаются логарифмировать иначе.
  • Не проверяют оба корня квадратного уравнения на условие ∣sin⁡x∣≤1|\sin x|\le1, оставляя посторонний корень.
  • При отборе корней на отрезке путают знаки и границы интервала, теряя или добавляя лишние решения.
Непонятно?

Похожие задачи