ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаЛогарифмические уравнения

а)  Решите уравнение: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс 2 синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка =4.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Свести логарифмическое уравнение к алгебраическому через определение логарифма, затем разложить на множители с помощью формулы синуса двойного угла и решить простейшие тригонометрические уравнения.

1. Упрощаем выражение под логарифмом. По формуле приведения cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x. Значит уравнение принимает вид log⁡3(2sin⁡x+2sin⁡2x+81)=4.\log_3\left(\sqrt2\sin x+2\sin2x+81\right)=4.

2. Освобождаемся от логарифма. По определению логарифма равенство log⁡3A=4\log_3 A=4 равносильно A=34=81A=3^4=81 (при этом автоматически A>0A>0, значит проверка ОДЗ не нужна — она выполнится сама, когда мы получим верное числовое равенство): 2sin⁡x+2sin⁡2x+81=81 ⇒ 2sin⁡x+2sin⁡2x=0.\sqrt2\sin x+2\sin2x+81=81\ \Rightarrow\ \sqrt2\sin x+2\sin2x=0.

3. Раскладываем на множители. Используем формулу двойного угла sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x: 2sin⁡x+4sin⁡xcos⁡x=0 ⇒ sin⁡x(2+4cos⁡x)=0.\sqrt2\sin x+4\sin x\cos x=0\ \Rightarrow\ \sin x(\sqrt2+4\cos x)=0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю — получаем два уравнения: sin⁡x=0илиcos⁡x=−24.\sin x=0\quad\text{или}\quad \cos x=-\dfrac{\sqrt2}{4}.

4. Решаем каждое уравнение. sin⁡x=0⇒x=πk\sin x=0\Rightarrow x=\pi k. cos⁡x=−24⇒x=±arccos⁡(−24)+2πk\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{4}\Rightarrow x=\pm\arccos\left(-\dfrac{\sqrt2}{4}\right)+2\pi k. Так как arccos⁡(−a)=π−arccos⁡a\arccos(-a)=\pi-\arccos a, получаем x=±(π−arccos⁡24)+2πk, k∈Z.x=\pm\left(\pi-\arccos\dfrac{\sqrt2}{4}\right)+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

5. Отбор корней на отрезке [π; 5π/2][\pi;\,5\pi/2]. Из серии x=πkx=\pi k в этот отрезок попадают k=1k=1 (x=πx=\pi) и k=2k=2 (x=2πx=2\pi). Из второй серии при k=0k=0 значение π−arccos⁡24≈1,93\pi-\arccos\frac{\sqrt2}{4}\approx1{,}93 меньше π\pi, не подходит; при k=1k=1 уже больше 5π/25\pi/2. Ветка со знаком «−»: −π+arccos⁡24+2πk-\pi+\arccos\dfrac{\sqrt2}{4}+2\pi k при k=1k=1 даёт π+arccos⁡24≈4,35\pi+\arccos\dfrac{\sqrt2}{4}\approx4{,}35 — попадает в отрезок. Итоговые корни: π, π+arccos⁡24, 2π\pi,\ \pi+\arccos\dfrac{\sqrt2}{4},\ 2\pi.

Типичные ошибки

  • Забывают проверить область определения логарифма (хотя здесь она выполняется автоматически, ученики часто теряют время или ошибочно накладывают лишние условия).
  • Неправильно применяют формулу приведения cos⁡(π/2−x)\cos(\pi/2 - x), путая её с sin⁡(π/2−x)\sin(\pi/2 - x).
  • При отборе корней на отрезке забывают проверить обе ветки ±(π−arccos⁡(2/4))+2πk\pm(\pi-\arccos(\sqrt2/4))+2\pi k и теряют совпадающие или подходящие значения.
Непонятно?

Похожие задачи