ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаЛогарифмические уравнения

а)  Решите уравнение 2 | синус x| плюс логарифм по основанию левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: | косинус x|, знаменатель: синус x конец дроби правая круглая скобка = 0.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка 25 Пи ; 26 Пи правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Из условий существования логарифма определить знаки синуса и косинуса, свести логарифм к −1-1 через cot⁡x=(tan⁡x)−1\cot x=(\tan x)^{-1}, решить полученное простое уравнение и отобрать серию, удовлетворяющую знакам, затем через двойное неравенство найти нужный корень на отрезке.

Область определения. Основание логарифма tan⁡x>0\tan x>0 (и ≠1\ne1), а аргумент −∣cos⁡x∣sin⁡x>0-\dfrac{|\cos x|}{\sin x}>0, откуда сразу sin⁡x<0\sin x<0 (иначе выражение не могло бы быть положительным). Так как tan⁡x>0\tan x>0, а sin⁡x<0\sin x<0, то и cos⁡x<0\cos x<0 — знаки синуса и косинуса совпадают.

Упрощение модулей. При sin⁡x<0, cos⁡x<0\sin x<0,\ \cos x<0 имеем ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x|=-\sin x, ∣cos⁡x∣=−cos⁡x|\cos x|=-\cos x. Аргумент логарифма превращается в −−cos⁡xsin⁡x=cos⁡xsin⁡x=cot⁡x=(tan⁡x)−1-\dfrac{-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x=(\tan x)^{-1}.

Свёртка логарифма. По свойству log⁡aa−1=−1\log_a a^{-1}=-1 получаем log⁡tan⁡xcot⁡x=−1\log_{\tan x}\cot x=-1. Уравнение становится −2sin⁡x−1=0⇒sin⁡x=−12-2\sin x-1=0\Rightarrow \sin x=-\dfrac12.

Отбор серий. Общее решение: x=−π6+2πkx=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k или x=−5π6+2πkx=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k. Проверяем условие cos⁡x<0\cos x<0: для первой серии cos⁡(−π/6)=32>0\cos(-\pi/6)=\dfrac{\sqrt3}{2}>0 — не подходит; для второй cos⁡(−5π/6)=−32<0\cos(-5\pi/6)=-\dfrac{\sqrt3}{2}<0 — подходит. Значит ответ а) — только серия x=−5π6+2πkx=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k.

Пункт б). Подставляем в неравенство 25π≤−5π6+2πk≤26π25\pi\le -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k\le26\pi, делим на π\pi: 25≤−56+2k≤2625\le -\dfrac56+2k\le26. Умножаем на 6: 150≤−5+12k≤156150\le-5+12k\le156, значит 155≤12k≤161155\le12k\le161, то есть 12,92≤k≤13,4212{,}92\le k\le13{,}42. Единственное целое k=13k=13.

Вычисление корня. x=−5π6+2π⋅13=−5π6+26π=151π6x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi\cdot13=-\dfrac{5\pi}{6}+26\pi=\dfrac{151\pi}{6} — это и есть искомый корень на отрезке.

Типичные ошибки

  • Не учитывать ОДЗ логарифма (основание и аргумент должны быть положительны, основание ≠1), что приводит к появлению лишних серий корней.
  • Ошибки при раскрытии модулей без анализа знаков синуса и косинуса, из-за чего получается неверное выражение под логарифмом.
  • Неверный перевод двойного неравенства для k в целые границы — потеря или добавление лишних значений k при отборе корней на отрезке.
Непонятно?

Похожие задачи