Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, поэтому переходим к системе: $$\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0,\qquad 2\cos x-\sqrt3\neq0.$$ При этом должна выполняться ОДЗ логарифма: $\sin x>0$.

Вводим замену $y=\log_2(\sin x)$. Уравнение принимает вид $y^2+y=0$, то есть $y(y+1)=0$. Отсюда $y=0$ или $y=-1$.

Возвращаемся к исходной переменной:

• $\log_2(\sin x)=0\Rightarrow \sin x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$;
• $\log_2(\sin x)=-1\Rightarrow \sin x=\dfrac12\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$.

Теперь учитываем ограничение $\cos x\neq\dfrac{\sqrt3}{2}$ (иначе знаменатель обращается в ноль). Проверяем каждую серию по значению косинуса:

• при $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ косинус равен $\dfrac{\sqrt3}{2}$ — это запрещённое значение, серия исключается;
• при $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ косинус равен $-\dfrac{\sqrt3}{2}\neq\dfrac{\sqrt3}{2}$ — подходит;
• при $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ косинус равен $0\neq\dfrac{\sqrt3}{2}$ — подходит.

Условие $\sin x>0$ для оставшихся серий выполняется автоматически. Получаем ответ пункта а).

б) Отбираем корни на отрезке $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$. Для серии $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ подходит только $k=0$: $x=\dfrac{\pi}{2}$. Для серии $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ подходит только $k=0$: $x=\dfrac{5\pi}{6}$. Остальные значения $k$ выводят за пределы отрезка.