Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Логарифм $\log_{-\sin x}(4\sin^2x-\sqrt3\sin2x-2\cos^2x)=0$ определён, когда основание положительно и не равно 1, то есть $0<-\sin x<1$, откуда $-1<\sin x<0$. Само равенство логарифма нулю означает, что выражение под ним равно 1: $$4\sin^2x-\sqrt3\sin2x-2\cos^2x=1.$$ Понижаем степень: $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$, $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$. Подставив, получаем $$2(1-\cos2x)-\sqrt3\sin2x-(1+\cos2x)=1\Rightarrow -3\cos2x-\sqrt3\sin2x=0.$$ Отсюда $\operatorname{ctg}2x=-\dfrac{\sqrt3}{3}$, значит $2x=\dfrac{2\pi}{3}+\pi k$, то есть $x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi k}{2}$. Теперь проверяем, при каких $k$ выполняется $-1<\sin x<0$ (перебором по остаткам $k\ \mathrm{mod}\,4$): подходят только $x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, где знак синуса отрицательный и не равен $-1$. Это и есть решение пункта а).

Для пункта б) подставляем полученные серии в отрезок $[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}]$. Для $x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k$: решая неравенство $-3\pi\le\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k\le-\dfrac{3\pi}{2}$, получаем $k=-2$, откуда $x=-\dfrac{8\pi}{3}$. Для $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$: решая аналогичное неравенство, получаем $k=-1$, откуда $x=-\dfrac{13\pi}{6}$. Оба значения лежат в заданном отрезке.