Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 монотонна (строго возрастает), равенство логарифмов равносильно равенству их аргументов при условии, что оба аргумента положительны. Значит уравнение равносильно системе: $\sin 2x=\sqrt{2\cos x}$ и $\sqrt{2\cos x}>0$, то есть $\cos x>0$.

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Тогда уравнение принимает вид $2\sin x\cos x-\sqrt2\cos x=0$, то есть $\cos x(2\sin x-\sqrt2)=0$.

При условии $\cos x>0$ множитель $\cos x$ не может быть равен нулю, поэтому остаётся $2\sin x-\sqrt2=0$, откуда $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Решения этого уравнения: $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$ или $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$. Из них условию $\cos x>0$ удовлетворяет только первая серия, так как в точке $\dfrac{3\pi}{4}$ косинус отрицателен.

Таким образом, ответ пункта а): $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$.

Для пункта б) отбираем корни на отрезке $[-\pi;\ \pi/2]$. Подставляя разные $k$, при $k=0$ получаем $x=\dfrac{\pi}{4}$, которое лежит в заданном отрезке. При $k=-1$ получаем $x=\dfrac{\pi}{4}-2\pi$, что меньше $-\pi$ и не подходит. При $k=1$ значение больше $\pi/2$. Значит единственный подходящий корень — $\dfrac{\pi}{4}$.