Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительны: $\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{12}\right)>0$ и $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)>0$.

По свойству логарифмов сумма логарифмов равна логарифму произведения: $\log_2\left(\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{12}\right)\sin\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\right)=-1$. Это переход к следствию — могут появиться посторонние корни, поэтому в конце нужна проверка.

По определению логарифма: $\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{12}\right)\sin\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)=2^{-1}=\dfrac12$.

Применяем формулу произведения синусов: $\sin A\sin B=\dfrac12\left(\cos(A-B)-\cos(A+B)\right)$, где $A-B=\dfrac{\pi}{3}$, $A+B=2x+\dfrac{\pi}{2}$. Получаем $\dfrac12\left(\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=\dfrac12$.

Так как $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ и $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin 2x$ (формула приведения), уравнение сводится к $\dfrac12+\sin 2x=1$, то есть $\sin 2x=\dfrac12$.

Решаем базовое тригонометрическое уравнение: $2x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ или $2x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, значит $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi k$ или $x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Проверяем ОДЗ на единичной окружности: при $x=\dfrac{\pi}{12}+2\pi k$ и $x=\dfrac{5\pi}{12}+2\pi k$ оба синуса положительны — эти серии подходят. При добавлении $\pi$ (то есть $x=\dfrac{13\pi}{12}+2\pi k$ и $x=\dfrac{17\pi}{12}+2\pi k$) один из синусов становится отрицательным — эти корни посторонние и отбрасываются.

Для пункта б) ищем корни на отрезке $[-\pi;\pi/2]$: подставляя $k=0$ в обе оставшиеся серии, получаем $x=\dfrac{\pi}{12}$ и $x=\dfrac{5\pi}{12}$ — оба числа попадают в отрезок; при других значениях $k$ корни выходят за его пределы.