Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Область определения. Логарифм по основанию $3+2x-x^2$ существует, если основание положительно и не равно 1, а знаменатель $\sin3x$ не равен нулю: $$3+2x-x^2>0,\quad 3+2x-x^2\neq1,\quad \sin3x\neq0.$$ Отсюда $-1<x<3$, $x\neq0,\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3}$, $x\neq1\pm\sqrt3$.

Переход к одному основанию. По формуле $\dfrac1{\log_ab}=\log_ba$ правая часть равна $\log_{3+2x-x^2}2$. Уравнение превращается в равенство логарифмов с одинаковым основанием — значит равны и аргументы: $$\frac{\sin x+\sqrt3\cos x}{\sin3x}=2.$$

Упрощение левой части. Заметим, что $\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x=\sin\left(x+\frac\pi3\right)$, поэтому уравнение равносильно $$\sin\left(x+\frac\pi3\right)=\sin3x.$$

Формула разности синусов. $\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}2\sin\frac{A-B}2$, где $A=x+\frac\pi3$, $B=3x$: $$2\sin\left(\frac\pi6-x\right)\cos\left(2x+\frac\pi6\right)=0.$$

Отсюда либо $\sin\left(\frac\pi6-x\right)=0\Rightarrow x=\frac\pi6+\pi n$, либо $\cos\left(2x+\frac\pi6\right)=0\Rightarrow x=\frac\pi6+\frac{\pi k}{2}$. Первая серия входит во вторую, поэтому общее решение: $x=\dfrac\pi6+\dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}$.

Отбор корней. Проверяем условие $-1<x<3$ и исключения: при $k=0$ получаем $x=\pi/6\approx0{,}52$ — подходит; при $k=1$ выходит $x=2\pi/3$, что запрещено; при $k=-1$ $x=-\pi/3<-1$; остальные значения выходят за пределы интервала. Значит единственный корень $x=\pi/6$.

Пункт б. Отрезок $[\pi/2;5\pi/4]$ не содержит $\pi/6$ (так как $\pi/6<\pi/2$), поэтому корней в этом промежутке нет.