Задание 8: применение производной к исследованию функций (ЕГЭ профиль)

О чём эта подтема

В задании 8 профильного ЕГЭ по графику производной $y=f'(x)$ требуется сделать вывод о поведении самой функции $f(x)$: найти точки экстремума, определить промежутки возрастания или убывания, иногда — посчитать сумму целых точек, входящих в такой промежуток. Никаких вычислений производной здесь не требуется — задача полностью читается по графику. Сложность в том, что нужно чётко понимать связь между знаком производной и поведением функции, а также не путать график $f(x)$ с графиком $f'(x)$.

Эта подтема — одна из самых «дешёвых» по баллам: она требует не вычислений, а аккуратного чтения графика и знания нескольких формулировок. Если разобраться в логике один раз, подобные задачи решаются за минуту.

Что нужно знать

1. Связь знака производной с поведением функции.

Если на интервале $(a;b)$ выполняется $f'(x)>0$, то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале. Если $f'(x)<0$ — функция убывает.

Геометрически это означает: там, где график $f'(x)$ лежит выше оси $Ox$, функция $f(x)$ возрастает; там, где график $f'(x)$ лежит ниже оси $Ox$, функция $f(x)$ убывает.

2. Признаки точек экстремума.

• Точка $x_0$ — точка максимума, если при переходе через неё производная меняет знак с «$+$» на «$-$» (функция сначала возрастала, потом стала убывать).
• Точка $x_0$ — точка минимума, если производная меняет знак с «$-$» на «$+$» (функция сначала убывала, потом стала возрастать).
• Если знак производной не меняется при переходе через точку, где $f'(x_0)=0$ (график касается оси, но не пересекает её), то это не точка экстремума.

3. Стационарные точки.

Точки, в которых $f'(x)=0$ (график производной пересекает или касается оси $Ox$), называются стационарными. Именно среди них ищутся точки экстремума — но не каждая стационарная точка обязательно экстремум, важен именно факт смены знака.

4. Работа с промежутками монотонности.

Если просят указать промежутки возрастания (или убывания), нужно выписать все интервалы, на которых производная сохраняет нужный знак, и объединить их, если это уместно по условию задачи. Если требуется сумма целых точек, входящих в промежуток, — нужно аккуратно перечислить все целые числа строго внутри найденного интервала (границы открытого интервала не включаются, если только не оговорено иное) и сложить их.

5. Область определения.

Всегда учитывайте, на каком интервале задана функция (например, $(-3;8)$ или $(-6;6)$) — за его пределами график не анализируется, и крайние точки области определения не считаются точками экстремума, даже если производная там меняет знак «на границе».

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить область определения функции $f(x)$ — она указана в условии (например, интервал, на котором построен график).

Шаг 2. Найти все точки, где график $f'(x)$ пересекает ось $Ox$ (нулевые точки производной). Это кандидаты на точки экстремума и границы промежутков монотонности.

Шаг 3. Для каждого промежутка между соседними нулями (и границами области определения) определить знак $f'(x)$: график выше оси — знак «$+$», ниже оси — знак «$-$».

Шаг 4. Составить последовательность знаков слева направо. Найти точки, где знак меняется:

• «$+$» → «$-$» — точка максимума;
• «$-$» → «$+$» — точка минимума;
• знак не меняется — точка перегиба графика функции, экстремума нет.

Шаг 5. Если требуется найти промежутки возрастания/убывания — выписать все интервалы с нужным знаком производной.

Шаг 6. Если нужна сумма целых точек, входящих в промежуток, — перечислить целые числа строго внутри найденного интервала (или интервалов) и сложить их. Будьте внимательны: если функция определена на открытом интервале и он совпадает с границей промежутка возрастания, крайняя точка области определения не включается, но включаются все целые числа перед ней.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: на рисунке изображён график функции $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-3;8)$. Найдите точку максимума функции $f(x)$.

Решение.

1. По графику видно, что на интервале $(-3;3)$ производная отрицательна: $f'(x)<0$. Значит, на этом промежутке функция $f(x)$ убывает.

2. На интервале $(3;7)$ график $f'(x)$ расположен выше оси $Ox$, то есть $f'(x)>0$. Значит, на этом промежутке функция возрастает.

3. На интервале $(7;8)$ график снова опускается ниже оси $Ox$: $f'(x)<0$, функция убывает.

4. Составим последовательность знаков: «$-$» на $(-3;3)$, «$+$» на $(3;7)$, «$-$» на $(7;8)$.

5. В точке $x=3$ знак меняется с «$-$» на «$+$» — это точка минимума.

6. В точке $x=7$ знак меняется с «$+$» на «$-$» — это и есть искомая точка максимума.

Ответ: $x=7$.

Пример 2.

Условие: на рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-6;6)$. Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

1. По графику производной видно, что на промежутке $(-6;-2)$ функция $f'(x)$ отрицательна, значит, $f(x)$ убывает.

2. Начиная с точки $x=-2$ и до правого конца области определения, то есть на промежутке $(-2;6)$, график $f'(x)$ расположен выше оси $Ox$: $f'(x)>0$. Значит, на этом промежутке функция $f(x)$ возрастает.

3. Таким образом, единственный промежуток возрастания функции — это $(-2;6)$.

4. Выпишем все целые точки, строго входящие в этот интервал (границы не включаются, так как интервал открытый, и правая граница $x=6$ совпадает с границей области определения, а значит, не входит в промежуток): это числа $-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5$.

5. Найдём их сумму: $$-1+0+1+2+3+4+5=14.$$

Ответ: 14.

Типичные ошибки

Путают график функции и график производной. Самая частая ошибка — искать возрастание/убывание там, где график $f'(x)$ сам возрастает или убывает, а не там, где он выше или ниже оси $Ox$. Нужно смотреть только на знак, то есть на положение графика относительно оси $Ox$, а не на его форму.

Неверно определяют тип экстремума. Иногда путают, какая смена знака соответствует максимуму, а какая — минимуму. Полезно запомнить логически: если функция сначала растёт, а потом падает — на «горке» будет максимум; если сначала падает, потом растёт — в «яме» будет минимум.

Считают точкой экстремума точку, где производная равна нулю, но знак не меняется. Если график $f'(x)$ касается оси $Ox$ и снова уходит в ту же полуплоскость (например, был выше оси, коснулся и снова выше), это не точка экстремума — там просто замедление роста или убывания.

Не учитывают область определения. Если функция задана на интервале, например, $(-3;8)$, крайние точки $-3$ и $8$ не входят в область определения и не могут быть точками экстремума, даже если график производной там меняет знак «на подходе».

Ошибки при подсчёте суммы целых точек. Часто забывают, что границы открытого интервала не включаются, либо, наоборот, ошибочно включают целую границу, которая совпадает с концом области определения функции. Всегда перечисляйте целые числа явно, не пытаясь угадать сумму «по формуле арифметической прогрессии» без проверки границ.

Путают возрастание/убывание с положительностью/отрицательностью самой функции. Знак $f'(x)$ говорит о поведении $f(x)$ (растёт или падает), а не о том, положительна или отрицательна сама функция $f(x)$. Это разные вещи, и график $f'(x)$ ничего не сообщает напрямую о значениях $f(x)$.

На что обратить внимание на экзамене

При чтении графика производной первым делом отметьте на оси $Ox$ все точки пересечения графика с осью — это будущие границы промежутков. Затем для каждого промежутка между этими точками (и границами области определения) определите знак одним словом — «плюс» или «минус» — глядя, выше или ниже оси лежит график. После этого выпишите последовательность знаков слева направо и найдите все смены знака — это и дадут точки экстремума.

Если в задаче просят не точку экстремума, а промежуток возрастания или убывания, отвечайте именно интервалом (или объединением интервалов), а не одной точкой, — и обязательно проверьте, входят ли крайние точки в область определения функции.

При подсчёте суммы целых точек не спешите: перечислите все целые числа внутри интервала на бумаге, а затем сложите — это исключит арифметические ошибки и ошибки с границами. Обратите особое внимание на случаи, когда правая или левая граница промежутка совпадает с границей области определения функции: такая точка не является целым числом «внутри» интервала автоматически — нужно смотреть, входит она в область определения или нет.

Наконец, не пытайтесь искать производную по формуле — в этом задании она уже дана графически, и вся работа сводится к правильному чтению графика и применению признаков экстремума и монотонности.