Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Применение производной к исследованию функций

Производная функции в точке имеет знак, связанный с поведением графика функции в окрестности этой точки.

Ключевое свойство: Если функция возрастает на некотором интервале, то её производная на этом интервале положительна. Если функция убывает — производная отрицательна.

Решение:

1. Посмотрим на график и определим, где функция $f(x)$ возрастает (движется вверх) и где убывает (движется вниз).

2. Находим интервалы возрастания. Это участки графика, где при движении слева направо значения функции увеличиваются.

3. Проверяем, какие из восьми точек $x_1, x_2, \ldots, x_8$ лежат в интервалах возрастания — именно в этих точках производная будет положительна.

4. По графику видно, что функция возрастает на четырёх отдельных интервалах, и в эти интервалы попадают точки: $x_1, x_2, x_5, x_6, x_7$.

5. Точки $x_3, x_4, x_8$ лежат в интервалах убывания, где $f'(x) < 0$.

Итог: производная положительна в 5 точках.