ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Применение производной к исследованию функций

Задача 317539. Применение производной к исследованию функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 83.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

На рисунке изображён график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка и восемь точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, \dots, x_8. В скольких из этих точек производная функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка положительна?

В подтеме 39 задач
Разбор
Главная идея: Производная функции положительна ровно в тех точках, которые лежат на интервалах, где функция возрастает.

Производная функции в точке имеет знак, связанный с поведением графика функции в окрестности этой точки.

Ключевое свойство: Если функция возрастает на некотором интервале, то её производная на этом интервале положительна. Если функция убывает — производная отрицательна.

Решение:

  1. Посмотрим на график и определим, где функция f(x)f(x) возрастает (движется вверх) и где убывает (движется вниз).

  2. Находим интервалы возрастания. Это участки графика, где при движении слева направо значения функции увеличиваются.

  3. Проверяем, какие из восьми точек x1,x2,…,x8x_1, x_2, \ldots, x_8 лежат в интервалах возрастания — именно в этих точках производная будет положительна.

  4. По графику видно, что функция возрастает на четырёх отдельных интервалах, и в эти интервалы попадают точки: x1,x2,x5,x6,x7x_1, x_2, x_5, x_6, x_7.

  5. Точки x3,x4,x8x_3, x_4, x_8 лежат в интервалах убывания, где f′(x)<0f'(x) < 0.

Итог: производная положительна в 5 точках.

Типичные ошибки

  • Спутать возрастание и убывание функции — путём смотреть на функцию слева направо, не наоборот.
  • Забыть, что в точках экстремума (локальный максимум или минимум) производная равна нулю, а не положительна.
  • Неправильно определить границы интервалов возрастания — нужно смотреть на весь график целиком, а не только отдельные участки.

Ещё задачи этой подтемы