Задание 8 ЕГЭ профиль: производная и первообразная — полный разбор

Что проверяет задание

Задание 8 проверяет умение работать с производной и первообразной на базовом уровне без сложного исследования функции целиком. Проверяются четыре связанные подтемы:

• физический смысл производной (скорость, ускорение как производные координаты и скорости);
• геометрический смысл производной (угловой коэффициент касательной, чтение графиков);
• применение производной к простому исследованию функций (знак производной, монотонность, экстремумы по графику или формуле);
• первообразная (нахождение по формуле, применение формулы Ньютона–Лейбница в упрощённом виде).

Задание не требует построения полного исследования функции — это задача на понимание смысла понятий и умение читать графики и формулы.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки:

• «Материальная точка движется по закону $x(t)=\dots$. Найдите момент времени, когда скорость (ускорение) равна такому-то значению»;
• «На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке $x_0$. Найдите $f'(x_0)$» (или значение производной комбинированной функции);
• «На рисунке изображён график производной $f'(x)$. Определите количество точек экстремума / промежутки возрастания»;
• «Найдите первообразную функции $f(x)$, график которой проходит через точку...».

Задание оценивается в 1 первичный балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, вводится в бланк без единиц измерения. Задание считается одним из самых «дешёвых» по времени при правильной подготовке — на него уходит 2–4 минуты.

Что нужно знать

• Физический смысл производной: если $x(t)$ — закон движения, то скорость $v(t)=x'(t)$, ускорение $a(t)=v'(t)=x''(t)$.
• Геометрический смысл производной: $f'(x_0)=k$ — угловой коэффициент касательной к графику $f$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси $Ox$.
• Уравнение касательной: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.
• Угловой коэффициент прямой по двум точкам: $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
• Правила дифференцирования: $(u\pm v)'=u'\pm v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $(cu)'=cu'$, производная степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
• Таблица производных основных функций: $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=\dfrac1x$, $(a^x)'=a^x\ln a$.
• Связь знака производной и поведения функции: если $f'(x)>0$ на промежутке, функция возрастает; если $f'(x)<0$ — убывает; в точке экстремума $f'(x_0)=0$ или производная не существует, и знак производной меняется.
• По графику производной точки максимума соответствуют переходу знака $f'$ с «+» на «−», точки минимума — с «−» на «+».
• Первообразная: $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, если $F'(x)=f(x)$. Общий вид: $F(x)+C$.
• Таблица первообразных: для $x^n$ ($n\neq -1$) первообразная $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$; для $\dfrac1x$ — $\ln|x|$; для $\sin x$ — $-\cos x$; для $\cos x$ — $\sin x$; для $e^x$ — $e^x$.
• Если известна точка графика первообразной, константу $C$ находят подстановкой координат этой точки.

Методы решения

1. Метод дифференцирования закона движения (физический смысл). Дано $x(t)$, нужно найти момент, когда скорость равна заданному числу. Берём производную $x'(t)$, приравниваем к данному значению, решаем уравнение. Мини-пример: $x(t)=t^3-6t$, найти $t$, при котором $v(t)=6$. Решение: $v(t)=3t^2-6$; $3t^2-6=6\Rightarrow t^2=4\Rightarrow t=2$ (берём положительный корень, так как время неотрицательно).

2. Метод углового коэффициента по графику (геометрический смысл). Если на графике видна касательная, выбираем две точки с целочисленными координатами, через которые она проходит, и считаем $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Это и есть $f'(x_0)$. Мини-пример: касательная проходит через $(1;3)$ и $(3;7)$. Тогда $f'(x_0)=\dfrac{7-3}{3-1}=2$.

3. Метод композиции производных (для комбинированных функций). Если нужно найти производную функции вида $g(x)=x^2-f(x)+1$ через известную $f'(x_0)$, сначала дифференцируем по стандартным правилам, оставляя $f'(x)$ как известную величину, затем подставляем численное значение. Мини-пример: $g(x)=3x-2f(x)$, $f'(1)=5$. Тогда $g'(x)=3-2f'(x)$, $g'(1)=3-2\cdot5=-7$.

4. Метод анализа графика производной для исследования функции. По графику $f'(x)$ определяем знаки на промежутках. Там, где график выше оси $Ox$ — функция возрастает, ниже — убывает. Точки пересечения графика с осью — кандидаты в экстремумы (важен именно факт смены знака). Мини-пример: график $f'(x)$ пересекает ось в точке $x=2$, переходя с «+» на «−». Значит, $x=2$ — точка максимума функции $f$.

5. Метод восстановления первообразной по формуле и точке графика. Находим общий вид первообразной по таблице, прибавляем константу $C$, подставляем известную точку графика и находим $C$. Мини-пример: $f(x)=2x$, график первообразной проходит через $(1;4)$. $F(x)=x^2+C$; $1+C=4\Rightarrow C=3$; $F(x)=x^2+3$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить подтему задания: физический смысл, геометрический смысл (касательная), исследование по графику производной или первообразная.
2. Если дан закон движения — продифференцировать нужное число раз (координата → скорость → ускорение) и составить уравнение с заданным условием.
3. Если дан график с касательной — выбрать на прямой две «удобные» точки с целыми координатами и вычислить угловой коэффициент как отношение приращений.
4. Если требуется производная комбинированной функции — сначала продифференцировать её по правилам (сумма, произведение, константа), выразив ответ через $f'(x_0)$, затем подставить найденное числовое значение.
5. Если дан график производной — определить знаки на промежутках и точки смены знака, сделать вывод о возрастании/убывании или экстремумах.
6. Если требуется первообразная — по таблице найти общий вид $F(x)+C$, при наличии условия (точка графика) найти $C$.
7. Проверить полученный ответ подстановкой в исходное условие, убедиться, что он соответствует смыслу задачи (например, время не может быть отрицательным).

Разбор примеров

Пример 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=t^2-13t+23$ (метры, секунды). В какой момент времени скорость была равна 3 м/с?

Шаг 1. Скорость — производная координаты по времени (физический смысл производной): $$v(t)=x'(t)=(t^2-13t+23)'=2t-13.$$

Шаг 2. По условию нужен момент, когда $v=3$, составляем уравнение: $$2t-13=3.$$

Шаг 3. Решаем: $$2t=16 \;\Rightarrow\; t=8.$$

Шаг 4. Проверка: $v(8)=2\cdot8-13=16-13=3$ м/с — совпадает с условием.

Ответ: 8.

---

Пример 2. На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке $x_0=2$. Найдите значение производной функции $g(x)=x^2-f(x)+1$ в точке $x_0$.

Шаг 1. Находим $f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной. По рисунку прямая проходит через точки $(0;2)$ и $(5;4)$: $$f'(2)=k=\frac{4-2}{5-0}=\frac{2}{5}=0{,}4.$$

Шаг 2. Дифференцируем $g(x)$ по правилам (производная суммы и разности, производная $x^2$, производная константы равна нулю): $$g(x)=x^2-f(x)+1 \;\Rightarrow\; g'(x)=2x-f'(x).$$

Шаг 3. Подставляем $x_0=2$ и найденное значение $f'(2)$: $$g'(2)=2\cdot2-f'(2)=4-0{,}4=3{,}6.$$

Ответ: 3,6.

---

Пример 3. На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Шаг 1. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной — это ключевая идея геометрического смысла производной.

Шаг 2. Берём две точки касательной с целыми координатами: $A(-4;-2)$ и $B(1;7)$.

Шаг 3. Считаем угловой коэффициент по формуле $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$: $$k=\frac{7-(-2)}{1-(-4)}=\frac{9}{5}=1{,}8.$$

Шаг 4. Делаем вывод: так как прямая — касательная к графику в точке с абсциссой $x_0$, то $$f'(x_0)=k=1{,}8.$$

Шаг 5. Проверка знака: прямая возрастает (при движении слева направо $y$ увеличивается), значит производная должна быть положительной — результат согласуется.

Ответ: 1,8.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают физический смысл: считают, что скорость — это сама функция $x(t)$, а не её производная; аналогично путают ускорение с скоростью.
• При чтении графика выбирают точки касательной, которые лежат не на самой прямой, а на графике функции — это разные линии, координаты нужно брать именно с прямой (касательной).
• Неверно вычисляют угловой коэффициент, путая порядок вычитания координат: важно соблюдать порядок $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ последовательно для обеих осей.
• При дифференцировании комбинированной функции забывают знак минус перед $f'(x)$, если в выражении есть $-f(x)$.
• Забывают, что производная константы равна нулю, и по ошибке добавляют лишние слагаемые при дифференцировании.
• При работе с графиком производной путают, где сама функция возрастает/убывает: смотрят на знак $f'(x)$, а не на форму графика $f'$.
• При нахождении первообразной забывают добавить константу $C$ или неправильно находят её из условия (подставляют не в то уравнение).
• Не проверяют знак ответа по смыслу задачи (например, отрицательное время в физической задаче или несогласованность знака производной с направлением касательной).

Как готовиться

Отработайте правила дифференцирования и таблицу производных и первообразных до автоматизма — задание строится именно на быстром и безошибочном применении базовых формул. Решите не менее 20–30 задач на физический смысл производной, где закон движения задан многочленом, чтобы уверенно брать первую и вторую производные. Отдельно потренируйтесь читать графики: выбирать точки с целыми координатами на касательной и быстро вычислять угловой коэффициент — таких заданий в вариантах много, и скорость счёта важна. Разберите задачи, где нужно найти производную комбинированной функции через известное значение $f'(x_0)$ — это частый и коварный тип. Проработайте задачи на определение экстремумов и промежутков монотонности по графику производной, обращая внимание именно на смену знака, а не просто на пересечение оси. Завершите подготовку блоком задач на первообразную с условием прохождения графика через заданную точку — набейте руку на нахождении константы $C$. Регулярно решайте варианты целиком, чтобы задание 8 решалось за минимальное время и не отнимало ресурс для более сложных номеров.