Физический смысл производной: скорость движения в задании 8 ЕГЭ

О чём эта подтема

В задании 8 профильного ЕГЭ часто встречаются задачи на физический смысл производной. Суть проста: если известен закон движения точки $x(t)$ (зависимость координаты от времени), то производная этого закона по времени даёт мгновенную скорость точки в любой момент. Это одна из немногих формулировок задания 8, где производная применяется не к абстрактной функции, а к реальному физическому процессу — прямолинейному движению.

Задачи этого типа решаются по единому шаблону: продифференцировать функцию, подставить нужное значение времени, посчитать число. Никаких дополнительных физических знаний не требуется — только уверенное владение техникой дифференцирования многочленов.

Что нужно знать

1. Физический смысл производной. Если $x(t)$ — закон движения точки (координата в момент времени $t$), то скорость точки в момент $t$ равна производной координаты по времени: $$v(t) = x'(t)$$

Это ключевой факт всей подтемы. Производная показывает мгновенную скорость изменения координаты, то есть именно то, что физически называется скоростью.

2. Правила дифференцирования степенной функции. Для решения нужно уметь брать производную одночленов вида $a t^n$: $$(a t^n)' = a \cdot n \cdot t^{n-1}$$

Частные случаи, которые встречаются постоянно:

• $(t^2)' = 2t$
• $(t^3)' = 3t^2$
• $(t)' = 1$
• производная константы равна нулю: $(c)' = 0$

3. Линейность производной. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, а постоянный множитель выносится за знак производной: $$(af(t) + bg(t))' = a f'(t) + b g'(t)$$

Этого набора правил полностью достаточно, чтобы продифференцировать любой многочлен, который встречается в законе движения — обычно это квадратичная или кубическая функция от $t$.

4. Ускорение (если потребуется). Иногда в этой же теме встречаются задачи на ускорение — оно является производной от скорости, то есть второй производной от координаты: $$a(t) = v'(t) = x''(t)$$

Этот факт стоит держать в голове, хотя чаще всего в задании 8 спрашивают именно скорость.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на физический смысл производной всегда одинаковый и состоит из четырёх шагов.

Шаг 1. Выписать закон движения. Внимательно переписать функцию $x(t)$ из условия, не потеряв коэффициенты и степени.

Шаг 2. Продифференцировать по времени. Найти $v(t) = x'(t)$, применяя правило дифференцирования степенной функции к каждому слагаемому отдельно. Важно помнить, что переменная дифференцирования здесь — время $t$, а не $x$.

Шаг 3. Подставить заданное значение времени. В полученную формулу скорости $v(t)$ подставить то значение $t$, которое указано в условии задачи.

Шаг 4. Вычислить и записать ответ. Аккуратно выполнить арифметику, учитывая знаки, и указать численный ответ (обычно в м/с, если в условии координата дана в метрах, а время — в секундах).

Особое внимание стоит уделить именно шагу 2 — дифференцированию, потому что вычислительная ошибка на этом этапе автоматически даёт неверный конечный ответ, даже если вся логика решения верна.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t) = 6t^2 - 48t + 17$$ где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах. Найти скорость точки (в м/с) в момент времени $t = 9$ с.

Шаг 1. Закон движения уже выписан: $x(t) = 6t^2 - 48t + 17$.

Шаг 2. Находим производную, используя физический смысл производной: скорость — это $v(t) = x'(t)$.

Дифференцируем каждое слагаемое отдельно:

• $(6t^2)' = 6 \cdot 2t = 12t$
• $(-48t)' = -48$
• $(17)' = 0$ (производная постоянной величины равна нулю)

Складываем результаты: $$v(t) = 12t - 48$$

Шаг 3. Подставляем $t = 9$: $$v(9) = 12 \cdot 9 - 48$$

Шаг 4. Вычисляем: $$v(9) = 108 - 48 = 60$$

Ответ: 60 м/с.

Пример 2.

Условие: материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t) = \frac{1}{2}t^3 - 3t^2 + 2t$$ где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах. Найти скорость точки (в м/с) в момент времени $t = 6$ с.

Шаг 1. Закон движения: $x(t) = \frac{1}{2}t^3 - 3t^2 + 2t$.

Шаг 2. Находим производную $v(t) = x'(t)$, применяя правило дифференцирования степенной функции к каждому слагаемому:

• $\left(\frac{1}{2}t^3\right)' = \frac{1}{2} \cdot 3t^2 = \frac{3}{2}t^2$
• $(-3t^2)' = -3 \cdot 2t = -6t$
• $(2t)' = 2$

Собираем формулу скорости: $$v(t) = \frac{3}{2}t^2 - 6t + 2$$

Шаг 3. Подставляем $t = 6$: $$v(6) = \frac{3}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 2$$

Шаг 4. Вычисляем по частям:

• $6^2 = 36$, тогда $\frac{3}{2} \cdot 36 = \frac{108}{2} = 54$
• $6 \cdot 6 = 36$

Подставляем и складываем: $$v(6) = 54 - 36 + 2 = 20$$

Ответ: 20 м/с.

Оба примера показывают, что независимо от степени многочлена (квадратичной или кубической) алгоритм остаётся одним и тем же: продифференцировать закон движения, подставить значение времени, посчитать.

Типичные ошибки

Ошибка в дифференцировании степени. Часто путают, что производная $t^2$ равна $2t$, а не $t$, а производная $t^3$ равна $3t^2$, а не $t^2$ или $3t^3$. Такая путаница особенно опасна при наличии дробных коэффициентов, как в примере 2, где нужно ещё и правильно перемножить дробь на степень.

Забыли, что производная константы равна нулю. В законе движения часто есть свободный член (в примере 1 это число 17). При нахождении скорости он просто исчезает, потому что его производная равна нулю. Ошибочно оставлять его в формуле скорости или, наоборот, пытаться его как-то преобразовать.

Путают знаки при дифференцировании отрицательных слагаемых. Если в законе движения есть слагаемое вида $-48t$ или $-3t^2$, важно сохранить знак минус при переносе коэффициента в производную. Пропуск минуса — одна из самых частых арифметических ошибок в этой теме.

Подстановка значения времени не в ту функцию. Иногда вместо того чтобы подставить $t$ в формулу скорости $v(t)$, ошибочно подставляют его в исходную функцию координаты $x(t)$ и получают неверное число — расстояние вместо скорости. Нужно чётко разделять: сначала дифференцируем, потом подставляем.

Ошибки в арифметике на финальном шаге. Даже при правильно найденной производной легко ошибиться в вычислении степени числа или в порядке действий (умножение раньше вычитания). Стоит выполнять вычисления по частям, как показано в разборе примеров, а не пытаться посчитать всё в уме за один шаг.

Путаница между скоростью и ускорением. Если в задаче спрашивают не скорость, а ускорение, нужно дифференцировать функцию скорости ещё раз (то есть брать вторую производную от координаты). Пропуск этого шага и использование только первой производной для нахождения ускорения — грубая логическая ошибка.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как приступать к дифференцированию, стоит внимательно перечитать условие и убедиться, что переписан именно закон движения $x(t)$, а не что-то ещё, а также точно зафиксировать, какое именно значение времени нужно подставить в конце. Небольшая описка при переписывании коэффициентов или показателей степени полностью меняет ответ.

При дифференцировании удобно расписывать каждое слагаемое отдельно в отдельной строке — это снижает риск потерять знак или неправильно применить правило степени, особенно если в законе движения три и более слагаемых, как в примере с кубической функцией.

После нахождения формулы скорости полезно на секунду остановиться и проверить её на правдоподобие: степень полученного многочлена должна быть на единицу меньше степени исходной функции координаты (если $x(t)$ содержит $t^3$, то $v(t)$ должна содержать $t^2$, а не $t^3$ или $t$).

При финальной подстановке числа времени стоит производить вычисление по шагам, отдельно считая каждое слагаемое, а затем складывая или вычитая результаты — это особенно важно при дробных коэффициентах, чтобы не ошибиться в арифметике под давлением ограниченного времени на экзамене.

Наконец, стоит помнить единицы измерения: если координата дана в метрах, а время — в секундах, то скорость автоматически получается в м/с, и это стоит указать в ответе, если того требует формулировка задания.