ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Физический смысл производной

Задача 119977. Физический смысл производной

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.1.2 Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса

Материальная точка движется прямолинейно по закону x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус t в степени 4 плюс 6t в кубе плюс 5t плюс 23 (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/⁠с) в момент времени t=3 с.

В подтеме 6 задач
Разбор
Главная идея: Скорость — это производная координаты по времени; найдите x′(t)x'(t) и вычислите её значение в точке t=3t = 3.

Скорость материальной точки — это производная функции координаты по времени.

Дана функция положения: x(t)=−t4+6t3+5t+23x(t) = -t^4 + 6t^3 + 5t + 23

Находим производную, применяя правило дифференцирования степенной функции (производная tnt^n равна n⋅tn−1n \cdot t^{n-1}): v(t)=x′(t)=−4t3+18t2+5v(t) = x'(t) = -4t^3 + 18t^2 + 5

Производная константы 23 равна нулю, поэтому он исчезает.

Теперь подставляем t=3t = 3 в выражение для скорости: v(3)=−4⋅33+18⋅32+5v(3) = -4 \cdot 3^3 + 18 \cdot 3^2 + 5

Вычисляем степени:

  • 33=273^3 = 27
  • 32=93^2 = 9

Подставляем: v(3)=−4⋅27+18⋅9+5=−108+162+5=59v(3) = -4 \cdot 27 + 18 \cdot 9 + 5 = -108 + 162 + 5 = 59

Скорость в момент t=3t = 3 секунды равна 59 м/с.

Типичные ошибки

  • Забыли, что производная произведения коэффициента и степени — это коэффициент умножить на новую степень; например, производная −t4-t^4 равна −4t3-4t^3, а не t3t^3.
  • Арифметическая ошибка при вычислении: неправильный расчёт −4⋅27-4 \cdot 27 или 18⋅918 \cdot 9.
  • Забыли найти саму производную и подставили t=3t = 3 в исходную функцию x(t)x(t) вместо v(t)=x′(t)v(t) = x'(t).

Ещё задачи этой подтемы