Первообразная в задании 8 ЕГЭ: график F(x) и формула Ньютона—Лейбница

О чём эта подтема

В задании 8 на первообразную проверяют понимание связи между функцией $f(x)$ и её первообразной $F(x)$: $F'(x)=f(x)$. Обычно даётся график одной из этих функций — либо $f$, либо $F$ — и нужно извлечь числовую информацию о другой: количество нулей, значение интеграла, разность значений первообразной в двух точках. Такие задачи решаются не через формулы и таблицы первообразных, а через геометрию графика и формулу Ньютона—Лейбница.

Что нужно знать

• Определение первообразной: $F(x)$ называется первообразной для $f(x)$ на промежутке, если $F'(x)=f(x)$ во всех точках этого промежутка.
• Формула Ньютона—Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, где $F$ — любая первообразная функции $f$.
• Геометрический смысл определённого интеграла: $\int_a^b f(x)\,dx$ равен площади фигуры между графиком $f$ и осью $Ox$ на $[a;b]$, взятой со знаком «+», если график выше оси, и со знаком «–», если ниже.
• Связь графиков $f$ и $F$: там, где $f(x)=0$, у графика $F(x)$ находится точка экстремума (максимум или минимум), потому что в этой точке $F'(x)=f(x)=0$, то есть касательная горизонтальна. Там, где $f(x)>0$, функция $F(x)$ возрастает; там, где $f(x)<0$ — убывает.
• Формулы площадей простых фигур для кусочно-линейного графика: треугольник $S=\frac12 a h$, трапеция $S=\frac{(a+b)}2 h$, прямоугольник $S=ab$.
• Умение точно читать координаты узловых точек графика по клеткам сетки — все нужные значения обычно целые и легко считываются без округления.

Больше для этой подтемы, как правило, не требуется: таблица первообразных элементарных функций почти не используется, потому что все вычисления делаются геометрически по картинке.

Как решать: метод и алгоритм

Все задачи на первообразную из задания 8 сводятся к одному из двух типов.

Тип А. Дан график $F(x)$, нужно найти что-то про $f(x)$ (обычно — число решений $f(x)=0$).

1. Использовать, что $f(x)=0 \iff F'(x)=0$ — то есть в этой точке график $F$ имеет горизонтальную касательную, значит, точку экстремума.
2. На заданном отрезке отметить все точки, где график $F(x)$ меняет направление: переходит от возрастания к убыванию или наоборот.
3. Аккуратно проверить концы отрезка: если экстремум приходится ровно на границу и эта граница включена (квадратная скобка), точку нужно учитывать.
4. Посчитать все найденные точки — это и есть число решений $f(x)=0$.

Тип Б. Дан график $f(x)$, нужно найти $F(b)-F(a)$ или значение интеграла.

1. Применить формулу Ньютона—Лейбница: $F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\,dx$.
2. Разбить отрезок $[a;b]$ на части так, чтобы на каждой части график $f$ представлял собой простую фигуру — треугольник, трапецию или прямоугольник — с известными по клеткам сторонами.
3. Для каждой части вычислить площадь фигуры между графиком и осью $Ox$.
4. Определить знак каждой площади: «+», если график на этом участке выше оси $Ox$, «–», если ниже.
5. Сложить площади с учётом знаков — это и есть искомое значение интеграла, то есть $F(b)-F(a)$.

Разбор примера

Пример 1. На рисунке изображён график функции $y=F(x)$ — одной из первообразных функции $f(x)$, определённой на интервале $(-3;5)$. Найдите количество решений уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[-2;4]$.

Шаг 1. Так как $F$ — первообразная $f$, верно $F'(x)=f(x)$. Значит, уравнение $f(x)=0$ равносильно уравнению $F'(x)=0$.

Шаг 2. Условие $F'(x)=0$ означает, что в этой точке касательная к графику $F$ горизонтальна — то есть график $F$ имеет локальный максимум или локальный минимум.

Шаг 3. Задача сводится к подсчёту точек экстремума графика $F(x)$ на отрезке $[-2;4]$. Двигаясь по графику слева направо, отмечаем все «горбы» (точки максимума) и все «впадины» (точки минимума): кривая попеременно поднимается и опускается, и в каждой точке смены направления касательная горизонтальна.

Шаг 4. Считаем такие точки по порядку, не пропуская участки у самих границ отрезка: если экстремум приходится ровно на $x=-2$ или $x=4$, он тоже учитывается, так как отрезок замкнутый. В данном случае на графике таких точек ровно 10 — пять максимумов и пять минимумов, чередующихся друг за другом.

Шаг 5. Значит, уравнение $f(x)=0$ имеет на $[-2;4]$ ровно 10 решений.

Ответ: 10.

Пример 2. На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, состоящий из двух лучей с общей начальной точкой. Вычислите $F(8)-F(2)$, где $F(x)$ — одна из первообразных $f(x)$.

Шаг 1. По формуле Ньютона—Лейбница $$F(8)-F(2)=\int_2^8 f(x)\,dx.$$

Шаг 2. По графику определяем координаты характерных точек. Общая точка лучей — вершина ломаной — лежит на оси $Ox$, в точке $(4;0)$. Левый луч проходит через точки $(2;3)$ и $(4;0)$, правый луч — через точки $(4;0)$ и $(8;2)$. На всём отрезке $[2;8]$ график лежит не ниже оси $Ox$, поэтому обе части интеграла берутся со знаком «+».

Шаг 3. Разбиваем отрезок на две части по точке излома: $[2;4]$ и $[4;8]$.

На $[2;4]$ под графиком лежит прямоугольный треугольник с основанием $4-2=2$ и высотой $3$: $$S_1=\frac12\cdot 2\cdot 3 = 3.$$

На $[4;8]$ под графиком лежит прямоугольный треугольник с основанием $8-4=4$ и высотой $2$: $$S_2=\frac12\cdot 4\cdot 2 = 4.$$

Шаг 4. Так как обе фигуры расположены выше оси $Ox$, интеграл равен сумме площадей: $$\int_2^8 f(x)\,dx = S_1+S_2 = 3+4=7.$$

Шаг 5. Следовательно, $F(8)-F(2)=7$.

Ответ: 7.

Типичные ошибки

• Перепутать графики $f$ и $F$: искать нули или экстремумы не той функции, о которой спрашивают.
• Забыть, что нули $f(x)$ — это точки экстремума графика $F(x)$, а не точки пересечения графика $F(x)$ с осью $Ox$.
• При подсчёте площадей забыть про знак: если часть графика $f$ лежит ниже оси $Ox$, соответствующую площадь нужно вычитать, а не прибавлять.
• Перепутать порядок в формуле Ньютона—Лейбница и посчитать $F(a)-F(b)$ вместо $F(b)-F(a)$.
• Не заметить точку излома графика (вершину ломаной) и попытаться посчитать площадь одной фигурой там, где нужно разбиение на две части.
• Ошибиться при подсчёте экстремумов на границе отрезка: пропустить или лишний раз учесть точку, совпадающую с концом отрезка.
• Спутать точку перегиба (где касательная не горизонтальна) с точкой экстремума — учитывается только горизонтальная касательная.

На что обратить внимание на экзамене

Сначала чётко определите, какой график вам дан — $f$ или $F$: это указано в условии или подписано на рисунке. От этого зависит, какой из двух методов применять. Внимательно смотрите на тип скобок в записи отрезка: квадратные и круглые скобки показывают, включены ли концы в рассмотрение, что критично при подсчёте экстремумов на границе. Работая с кусочно-линейным графиком, всегда фиксируйте точные координаты точек излома и концов отрезка по клеткам — не оценивайте их на глаз. Перед тем как складывать площади, отметьте на черновике знак каждого куска — выше или ниже оси. После получения ответа полезно проверить его на правдоподобность: если суммарная площадь получилась отрицательной там, где график почти весь выше оси, значит, где-то ошибка в знаке. И не тратьте время на попытку восстановить аналитическую формулу функции — задачи этого типа решаются чисто геометрически по картинке.