Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Первообразная

Определённый интеграл $\int_1^5 f(x)\,dx$ геометрически равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и вертикальными линиями $x=1$ и $x=5$.

Рассмотрим область под графиком на отрезке $[1; 5]$. По рисунку видно, что эту область можно разбить на две простые фигуры:

Шаг 1. Определяем прямоугольник. На интервале от $x=3$ до $x=5$ график образует прямоугольник с основанием $5-3=2$ и высотой $4$. Его площадь: $$S_{\text{пр}} = 2 \times 4 = 8$$

Шаг 2. Определяем треугольник. На интервале от $x=1$ до $x=3$ график образует прямоугольный треугольник с основанием $3-1=2$ и высотой $4$. Его площадь: $$S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$$

Шаг 3. Суммируем. По свойству аддитивности интеграла: $$\int_1^5 f(x)\,dx = S_{\text{пр}} + S_{\text{тр}} = 8 + 4 = 12$$