ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Первообразная

Задача 323079. Первообразная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 84.3.1 Первообразные элементарных функций4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии

На рисунке изображён график функции y  =  f(x). Функция F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 302x минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби   — одна из первообразных функции y  =  f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

В подтеме 5 задач
Разбор
Главная идея: Площадь фигуры под кривой равна разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования: S=F(b)−F(a)S = F(b) - F(a).

Площадь закрашенной фигуры вычисляется как разность значений первообразной на концах отрезка. По графику определяем, что закрашенная область находится между x=−11x = -11 и x=−9x = -9.

Применяем формулу площади через первообразную: S=F(−9)−F(−11)S = F(-9) - F(-11)

Вычислим F(−9)F(-9): F(−9)=(−9)3+30(−9)2+302(−9)−158F(-9) = (-9)^3 + 30(-9)^2 + 302(-9) - \frac{15}{8} =−729+2430−2718−158=−101878= -729 + 2430 - 2718 - \frac{15}{8} = -1018\frac{7}{8}

Вычислим F(−11)F(-11): F(−11)=(−11)3+30(−11)2+302(−11)−158F(-11) = (-11)^3 + 30(-11)^2 + 302(-11) - \frac{15}{8} =−1331+3630−3322−158=−102478= -1331 + 3630 - 3322 - \frac{15}{8} = -1024\frac{7}{8}

Находим разность: S=−101878−(−102478)=−101878+102478=6S = -1018\frac{7}{8} - (-1024\frac{7}{8}) = -1018\frac{7}{8} + 1024\frac{7}{8} = 6

Альтернативный способ — выделение полного куба. Преобразуем первообразную: F(x)=(x+10)3+2x−1000−158F(x) = (x+10)^3 + 2x - 1000 - \frac{15}{8}

Тогда: S=[(1)3+2(−9)]−[(−1)3+2(−11)]=[1−18]−[−1−22]=−17−(−23)=6S = [(1)^3 + 2(-9)] - [(-1)^3 + 2(-11)] = [1 - 18] - [-1 - 22] = -17 - (-23) = 6

Типичные ошибки

  • Ошибка в знаках при подстановке отрицательных чисел в степени (забыли, что (−9)3=−729(-9)^3 = -729, а не 729729)
  • Неправильное вычисление дробной части при вычитании смешанных чисел
  • Забывчивость насчёт правила: вычитание отрицательного числа превращается в сложение

Ещё задачи этой подтемы