Задача 323078. Первообразная

Используем фундаментальную теорему анализа: разность значений первообразной равна определённому интегралу функции на отрезке.

$$F(8) - F(2) = \int_2^8 f(x)\,dx$$

Этот интеграл геометрически представляет площадь под графиком функции $f(x)$ на отрезке $[2; 8]$.

По графику видно, что на этом отрезке образуется трапеция. Определяем её параметры:

• На отрезке $[2; 3]$ функция постоянна: $f(x) = 2$ (высота левой стороны трапеции)
• На отрезке $[3; 8]$ функция линейно убывает от значения 2 до значения 0 (высота правой стороны)
• Основание трапеции (по оси $x$) имеет длину $8 - 2 = 6$

Однако удобнее разбить фигуру на составные части:

• Прямоугольник на $[2; 3]$: площадь $= 1 \times 2 = 2$
• Трапеция на $[3; 8]$: параллельные стороны равны 2 (в точке 3) и 0 (в точке 8), основание $= 5$. Площадь $= \frac{2 + 0}{2} \times 5 = 5$

Общая площадь (и значение интеграла): $$F(8) - F(2) = 2 + 5 = 7$$