Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Первообразная

Шаг 1. Найдём исходную функцию через производную первообразной.

Если $F(x) = -x^3 - 27x^2 - 240x - 8$ — первообразная, то функция на графике — это её производная: $$f(x) = F'(x) = -3x^2 - 54x - 240$$

Шаг 2. Приведём функцию к удобному виду.

Вынесем $-3$ из первых двух слагаемых: $$f(x) = -3(x^2 + 18x) - 240$$

Дополним до полного квадрата внутри скобок: $$x^2 + 18x = (x + 9)^2 - 81$$

Подставим: $$f(x) = -3[(x+9)^2 - 81] - 240 = -3(x+9)^2 + 243 - 240 = 3 - 3(x+9)^2$$

Шаг 3. Интерпретируем геометрический сдвиг.

Функция $f(x) = 3 - 3(x+9)^2$ — это парабола $y = 3 - 3u^2$ (где $u = x + 9$), сдвинутая на 9 единиц влево. Значит, площадь под графиком $f(x)$ между корнями совпадает с площадью под $y = 3 - 3x^2$ на отрезке $[-1; 1]$ (так как корни исходной функции сдвинуты на 9 единиц).

Шаг 4. Вычислим площадь интегралом.

Используем чётность подынтегральной функции: $$S = \int_{-1}^{1} (3 - 3x^2)\,dx = 2\int_{0}^{1} (3 - 3x^2)\,dx$$

Найдём первообразную: $$\int (3 - 3x^2)\,dx = 3x - x^3 + C$$

Вычислим определённый интеграл: $$S = 2\left[3x - x^3\right]_0^1 = 2(3 \cdot 1 - 1^3 - 0) = 2 \cdot 2 = 4$$