ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 8Первообразная

Задание 8 ЕГЭ, математика (профиль): Первообразная

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 83.2.5 Точки экстремума функции4.3.1 Первообразные элементарных функций

На рисунке изображён график функции y  =  F(x)  — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x)  =  0 на отрезке [−2; 4].

В подтеме 5 задач
Разбор
Главная идея: Уравнение f(x)=0f(x) = 0 эквивалентно F′(x)=0F'(x) = 0, решения — это все экстремумы графика первообразной, лежащие в заданном диапазоне.

Ключевая связь: если F(x)F(x) — первообразная функции f(x)f(x), то по определению f(x)=F′(x)f(x) = F'(x).

Уравнение f(x)=0f(x) = 0 означает, что F′(x)=0F'(x) = 0. Это условие выполняется в точках экстремумов (максимумы и минимумы) функции F(x)F(x), а также в точках, где касательная к графику горизонтальна.

Для решения:

  1. Рассматриваем график F(x)F(x) на рисунке
  2. Находим все точки, где производная обращается в нуль — это локальные экстремумы функции
  3. Подсчитываем, сколько таких точек попадает на отрезок [−2;4][-2; 4]

На графике видны точки экстремумов (обозначены на рисунке), из которых ровно 10 лежат внутри отрезка [−2;4][-2; 4] включительно. Это могут быть как локальные максимумы, так и локальные минимумы — все они дают нули производной.

Ответ: 10 решений.

Типичные ошибки

  • Забыли, что экстремумы включают и максимумы, и минимумы — оба дают нули производной
  • Неправильно определили границы отрезка [−2;4][-2; 4] — пропустили или добавили лишние точки экстремумов за пределами диапазона
  • Посчитали точки на графике невнимательно или перепутали точки экстремумов с другими особенностями графика
Непонятно?

Похожие задачи