Геометрический смысл производной и касательная: задание 8 профильного ЕГЭ

О чём эта подтема

Задание 8 часто проверяет умение связывать три вещи: график функции, график её производной и понятие касательной. В основе всего лежит один факт — производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Как только эта связь усвоена, задачи решаются почти механически: нужно просто переводить условие про касательную на язык производной и обратно.

В экзаменационных задачах этого типа обычно даётся картинка — график функции $f(x)$ или график её производной $f'(x)$ — и просят найти количество точек, где касательная параллельна заданной прямой, совпадает с ней, перпендикулярна ей или имеет какой-то конкретный угол наклона. Никаких вычислений производной по формулам тут не требуется — всё решается через анализ графика.

Что нужно знать

1. Геометрический смысл производной.

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$:

$$f'(x_0) = k = \tan \alpha,$$

где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$.

2. Уравнение касательной.

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ задаётся уравнением:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).$$

В заданиях 8 это уравнение редко нужно строить полностью — важнее сам угловой коэффициент $f'(x_0)$.

3. Условие параллельности прямых.

Две прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ параллельны (или совпадают) тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны:

$$k_1 = k_2.$$

Это значит: если касательная параллельна прямой $y = kx + b$, то в точке касания $f'(x_0) = k$.

4. Условие перпендикулярности прямых.

Если прямые перпендикулярны, произведение их угловых коэффициентов равно $-1$:

$$k_1 \cdot k_2 = -1, \quad \text{то есть } k_2 = -\dfrac{1}{k_1}.$$

Это условие встречается реже, но должно быть под рукой.

5. Горизонтальная касательная и точки экстремума.

Если прямая горизонтальна ($y = c$, угловой коэффициент $0$), то касательная параллельна ей или совпадает с ней там, где $f'(x_0) = 0$. А это в точности точки экстремума функции — локальные максимумы и минимумы (вершины и впадины графика). В этих точках график "разворачивается", и касательная становится горизонтальной.

6. Как читать угловой коэффициент по графику производной.

Если дан график самой производной $f'(x)$, то вопрос о наклоне касательной к $f(x)$ переводится в вопрос о значениях $f'(x)$: нужно найти, сколько раз график $f'(x)$ принимает нужное значение $k$. Графически это количество точек пересечения графика $f'(x)$ с горизонтальной прямой $y = k$.

7. Как читать наклон по графику самой функции.

Если дан график функции $f(x)$, то угловой коэффициент касательной оценивается визуально — по тому, насколько крутой подъём или спуск в данной точке. Точки, где касательная горизонтальна (экстремумы), находятся легче всего — это вершины и впадины графика.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить, какой график дан в условии — график функции $f(x)$ или график её производной $f'(x)$. Это принципиально меняет способ рассуждений.

Шаг 2. Найти угловой коэффициент $k$ прямой, о которой говорится в условии (например, $y = kx + b$). Если прямая дана в другом виде, привести её к виду $y = kx + b$, чтобы явно увидеть $k$.

Шаг 3. Сформулировать условие на производную:

• если касательная параллельна данной прямой или совпадает с ней — нужно $f'(x_0) = k$;
• если касательная перпендикулярна данной прямой — нужно $f'(x_0) = -\dfrac{1}{k}$.

Шаг 4. В зависимости от того, какой график дан:

• если дан график $f'(x)$ — посчитать количество точек пересечения этого графика с горизонтальной прямой $y = k$;
• если дан график $f(x)$ — посчитать количество точек, где визуальный наклон графика равен нужному значению $k$. Особый случай $k = 0$ — считаем точки экстремума (вершины и впадины).

Шаг 5. Внимательно проверить границы интервала, на котором задана функция: точки на самих концах интервала (открытые точки) не учитываются, если интервал открытый (например, $(-5;5)$ не включает $-5$ и $5$).

Шаг 6. Сформулировать ответ — это число найденных точек.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: на рисунке изображён график функции $y = f(x)$, определённой на интервале $(-5; 5)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y = 6$ или совпадает с ней.

Шаг 1. Дан график самой функции $f(x)$, не производной.

Шаг 2. Прямая $y = 6$ — горизонтальная, её угловой коэффициент $k = 0$.

Шаг 3. Раз касательная параллельна этой прямой или совпадает с ней, угловые коэффициенты должны совпасть:

$$f'(x_0) = 0.$$

Шаг 4. Производная равна нулю ровно в точках экстремума — там, где график имеет локальные максимумы (вершины) или локальные минимумы (впадины). В этих точках касательная горизонтальна, то есть параллельна прямой $y=6$ (или, если сама вершина лежит на высоте $y=6$, совпадает с ней — для подсчёта количества точек это не имеет значения, важен только наклон).

Шаг 5. Анализируя график на интервале $(-5;5)$, считаем количество "вершин" и "впадин": по условию задачи их 2 локальных максимума и 2 локальных минимума — всего 4 точки экстремума.

Шаг 6. Проверяем границы: точки $x=-5$ и $x=5$ не входят в область определения, значит, если экстремум оказался бы на самой границе, его нельзя было бы учитывать. В данном случае все 4 точки лежат строго внутри интервала.

Ответ: 4.

Пример 2.

Условие: на рисунке изображён график производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-10; 2)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y = -2x - 11$ или совпадает с ней.

Шаг 1. Здесь дан график производной $f'(x)$, а не самой функции. Это меняет способ решения: работать нужно непосредственно с графиком $f'(x)$, а не искать вершины и впадины.

Шаг 2. Прямая, о которой говорится в условии, имеет вид $y = -2x - 11$, значит её угловой коэффициент:

$$k = -2.$$

Шаг 3. Условие параллельности (или совпадения) касательной с этой прямой означает равенство угловых коэффициентов:

$$f'(x_0) = -2.$$

Шаг 4. Значит, задача сводится к поиску всех точек $x_0$, в которых график производной $f'(x)$ принимает значение $-2$. Графически это точки пересечения кривой $f'(x)$ с горизонтальной прямой $y = -2$.

Шаг 5. Проводим (мысленно или на чертеже) горизонтальную прямую $y=-2$ через график $f'(x)$ и считаем количество точек пересечения на интервале $(-10; 2)$.

Шаг 6. По условию задачи таких точек пересечения ровно 5, и все они лежат строго внутри интервала $(-10;2)$, поэтому границы интервала не влияют на результат.

Ответ: 5.

Сравнивая два примера, видно главное различие метода: если дан график функции — ищем визуально точки с нужным наклоном (чаще всего это точки экстремума при $k=0$); если дан график производной — считаем пересечения этого графика с горизонтальной прямой $y=k$.

Типичные ошибки

Путаница между графиком функции и графиком производной. Это самая частая и самая критичная ошибка. Если условие говорит "график производной", а решающий начинает искать вершины и впадины как в примере с функцией — ответ будет неверным. Всегда сначала чётко определяйте, что именно нарисовано.

Неверное определение углового коэффициента прямой. Если прямая дана в виде $Ax + By + C = 0$ или в другой форме, нужно аккуратно привести её к виду $y = kx + b$, чтобы не ошибиться со знаком $k$. Особенно легко ошибиться со знаком минус.

Забывают учесть случай "совпадает" отдельно от "параллельна". На самом деле для подсчёта количества точек это не имеет значения — совпадающие прямые тоже параллельны (имеют равный угловой коэффициент), поэтому условие объединяется в одно: равенство угловых коэффициентов.

Не учитывают открытость интервала. Если функция определена на открытом интервале (например, $(-10;2)$), точки на самих концах — $x=-10$ и $x=2$ — не входят в область определения и не могут быть точками касания, даже если график продолжается за пределы рисунка.

Считают все точки пересечения графика с осью или другой линией, не относящейся к задаче. Нужно строго ориентироваться на прямую $y=k$, где $k$ — угловой коэффициент из условия, а не на саму заданную прямую $y=kx+b$ (её при пересечении с графиком производной чертить не нужно).

Пропускают точки перегиба или касания, где график "почти касается" нужного уровня. На графиках такие точки бывают едва заметны — важно внимательно всматриваться в рисунок, особенно там, где кривая идёт почти горизонтально вблизи нужного уровня $y=k$.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как считать точки, чётко зафиксируйте для себя: дан график функции или график её производной — от этого зависит вся дальнейшая логика решения. Затем определите угловой коэффициент прямой из условия, аккуратно преобразовав уравнение к виду $y=kx+b$, если оно дано в другой форме.

Если работаете с графиком производной, проведите (хотя бы мысленно) горизонтальную прямую на уровне $y=k$ и внимательно, слева направо, пересчитайте все точки пересечения с кривой — легко сбиться при беглом взгляде на сложный график.

Если работаете с графиком самой функции и условие подразумевает $k=0$ (горизонтальная касательная), ищите все локальные экстремумы — вершины и впадины графика. Не забывайте, что точки перегиба, где график просто меняет выпуклость, но не разворачивается, экстремумами не являются и не подходят.

Всегда проверяйте, входят ли крайние точки интервала в область определения функции. Открытый интервал исключает крайние точки — если экстремум или пересечение приходится ровно на границу, такую точку не считают.

Если в задаче условие про перпендикулярность, не забудьте применить формулу $k_2 = -1/k_1$ прежде чем искать точки на графике — это частая причина ошибок, когда ученик по инерции ищет равенство коэффициентов вместо произведения, равного $-1$.

И, наконец, отвечайте на вопрос ровно так, как он поставлен — обычно требуется указать количество точек, а не их координаты. Перечитайте вопрос ещё раз перед записью ответа, чтобы не перепутать число точек с числом самих значений $k$ или уравнений касательных.